スペクトル分解の一意性の証明について

質問

ＴがＶの正規変換であるとき
Ｔの相異なる固有値全部をβ_1,β_2,・・・,β_kとし
対応する固有空間をＷ_1,Ｗ_2,・・・,Ｗ_kとする
Ｗ_iへの射影子をＰ_iとすれば
Ｐ_1+Ｐ_2+・・・+Ｐ_k=I
Ｐ_iＰ_j=0 (i≠j)
Ｔ=β_1Ｐ_1+β_2Ｐ_2+・・・+β_kＰ_k
が成立する。これを正規変換Ｔのスペクトル分解という。

スペクトル分解は一意的である。
実際、射影子Ｐ'_1,Ｐ'_2,・・・,Ｐ'_kによるもうひとつのスペクトル分解
Ｐ'_1+Ｐ'_2+・・・+Ｐ'_k=I
Ｐ'_iＰ'_j=0 (i≠j)
Ｔ=β_1Ｐ'_1+β_2Ｐ'_2+・・・+β_kＰ'_k
があったとしよう。
Ｐ_i,Ｐ'_iがそれぞれ部分空間Ｗ_iＷ'_iへの射影子であるとすれば
ＴのＷ_i,Ｗ'_iへの制限はどちらもスカラー変換β_iＩであるから
Ｗ_i=Ｗ'_i よってＰ_i=Ｐ'_i
("逆"の証明は略)

と教科書にあったのですが、最後、なぜＷ_i＝Ｗ'_iが言えるのかがわかりません。

ＴのＷ_i,Ｗ'_iへの制限はどちらもスカラー変換β_iＩであることを用いてＷ_i⊂Ｗ'_iかつＷ_i⊃Ｗ'_iを示せるのですか？

Ｗ_i⊃Ｗ'_iのほうに関しては

x'_i∈Ｗ'_iとすると
Ｔ(x'_i)=β_i(x'_i)であるから、x'_iはＴの固有値β_iに対する固有空間Ｗ_iの固有ベクトルであるといえる。よってx'_i∈Ｗ_i
つまりＷ_i⊃Ｗ'_iである。

とできるかな？とは思ったのですが、もう一つが・・・。

Ｗ_i⊃Ｗ'_iであることとＶが直和であることを用いてＷ_i=Ｗ'_iを示せるかな？とも思ったのですが、なんとなくなりそうってだけで、どのように厳密に示せばいいのかよくわかりません。

教科書にもさらっと書いてあるだけですし、おそらく簡単なことなのでしょうが私にはよくわからないです・・。

どなたか
Ｗ_i=Ｗ'_i よってＰ_i=Ｐ'_i
の証明教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.3

de_Raemon · ベストアンサー

＞この時点でＷ_'2=Ｗ_2などとはできないのでしょうか・・？
できると思います。

Ｗ'_i(i＝2,3,…,k)はＴの作用をＷ_1^⊥へ制限した変換Ｔ_1の固有空間なので
Ｗ'_2＝Ｗ_2∩Ｗ_1^⊥ ,…, Ｗ'_k＝Ｗ_k∩Ｗ_1^⊥　(1)
一方、明らかに
Ｗ_2⊂Ｗ_1^⊥ ,…, Ｗ_k⊂Ｗ_1^⊥　(2)
なので(1)(2)より
Ｗ'_2＝Ｗ_2∩Ｗ_1^⊥＝Ｗ_2 ,…, Ｗ'_k＝Ｗ_k∩Ｗ_1^⊥＝Ｗ_k　(3)
を得る。(証明終)

本の中で「明らかにＷ'_i⊂Ｗ_iであるから」と言っているのは上の(1)式
のことですよね。本の証明方法も誤りではないと思います。

今の問題ではＴの作用を制限したときにプライム付きのＷ'_iが現れていますが、
元の質問の問題では別のスペクトル分解としてプライム付きのＷ'_iが現れます。
スペクトル分解の段階でＴの作用を制限したわけではないので二つの問題は
状況が違うかなと思います。

お礼

回答ありがとうございます！
なるほど、そのようにすればいいのですね。
おかげで理解できました。ありがとうございます。

回答No.2

gatch_ky

おっしゃるとおりで

Ｗ_i⊃Ｗ'_iであることと
Ｖが直和であること(Ｗ'_iの完全性)
を用いてＷ_i=Ｗ'_iを示せます。

ＴのＷ'_iへの制限はスカラー変換β_iＩであるから
Ｗ_i⊃Ｗ'_i
Ｖ=Ｗ_1+Ｗ_2+...Ｗ_k⊃Ｗ'_1+Ｗ'_2+...+Ｗ'_k=Ｖ
⊃が等号を達成するのはＷ_i＝Ｗ'_iしかない。

お礼

回答ありがとうございます！
参考にさせていただきます。
助かります

回答No.1

de_Raemon

線型代数入門ですよね？
私もこの本を勉強中です。

『ＴのＷ_i,Ｗ'_iへの制限はどちらもスカラー変換β_iＩであるから』Ｗ_i=Ｗ'_i
結果のＷ_i=Ｗ'_iは正しくても、それを導く論法『～』は正しくないと思います。

反例をひとつ・・・
Ｗ_iの1個の元yによって張られる1次元部分空間をＹ＝{ay|a∈C}とするとＴのＹへの制限も
スカラー変換β_iＩなので上の論法でゆくとＷ_iの次元に関係なくＷ_i＝Ｙ。
一方、Ｗ_iの次元が2以上のときＷ_i＝Ｙはありえない・・・

そもそも同じ本のp131に書いてある固有空間の定義に従えば
Ｗ_i＝固有値β_iに対する固有ベクトル全部と0ベクトルから成る集合
Ｗ'_i＝固有値β_iに対する固有ベクトル全部と0ベクトルから成る集合
なので明らかにＷ_i＝Ｗ'_iです。

補足

いつも回答していただき本当にありがとうございます。
はい、線形代数入門です！

そうですよね、それは反例になってますよね・・・。

de_Raemonさんも線形代数入門を使ってるとのことですので、もう一つ似たようなことで気になってることを質問させてください。
(補足に書くのはマズイかもしれませんが・・・。)

p149の定理[3.1]の証明もなんかしっくりきません。
最後の一文
「Ｗ'_i⊂Ｗ_iであるからＷ_'i=Ｗ_iでなければならない。」
という部分です。
ここでは,これより前の文に
「β_2,・・・β_kに対するＴの固有空間をＷ_'2,・・・Ｗ'_kとすれば・・・」
とありますが、
この時点でＷ_'2=Ｗ_2などとはできないのでしょうか・・？

是非御意見お聞かせくださいm(_ _)m