数学です

質問

(n+1)^2-n^2=2n+1を用いて次の問いに答えなさい。

(１)自然数tが2n+1=t^2をみたすとき、tは奇数であるから、t=2k+1とかける。このとき、nをｋの式で表しなさい。
(２)k=3のとき、x^2+y^2=z^2をみたす自然数の組(x , y , z)を求めなさい。
(３)フェルマーの最終定理について述べなさい。

よろしくお願いします。ちなみにｘ＾２というのはｘの２乗という意味です

回答No.1

metabolian

（１） 自然数tが
　　　　2n+1=t^2　・・・　(1)
　　　 をみたすとき、右辺の"2数の積"が奇数になるパターンは
　　　「奇数×奇数」の場合しかなく、確かにtは奇数です。
　　　 t=2k+1（tは自然数なのでk≧0）とおくと、(1)式は
　　　2n+1 = (2k+1)^2　・・・ (2)
　　　(2)式をnについて解くと、
　　　∴ n = ((2k+1)^2-1)/2

（２）　※こういうとき、（１）の"問題の式"や"結果"が
　　　　（２）のどこかに利用できないか考えるとよいでしょう。

　　　　(n+1)^2-n^2=2n+1　・・・　(3)
　　　(3)式の右辺に(1)式を適用すると、
　　　　(n+1)^2-n^2=t^2　 　　　
　　　　(n+1)^2 = t^2 + n^2
　　　　t=x、n=y、n+1=z　　・・・　(4)
　　　　と見れば、
　　　　z^2=x^2+y^2となります。
　　　　ここで、（１）よりtは奇数でt=2k+1であり、
　　　　k=3のとき、(4)より

　　　　x=t=2*3+1=7
　　　　y=n=((2*3+1)^2-1)/2=24
　　　　z=n+1=24+1=25

（３）　「nが3以上のとき、x^n+y^n=z^nを満たす整数（x,y,z）の組は存在しない」
　　　　という定理。