リーマンクリストッフェルテンソル

質問

相対論を大学で勉強させてもらっている者です。
初めて質問させてもらいます。
本によっては、リーマンテンソルの定義の仕方が違ったりするのはどういうことでしょうか。
具体的には、クリストッフェル記号の添え字のついている文字は同じですが、定義の符号が逆転しているということです。

^上付き添え字
_下付き添え字

R^α_μλν=
-R^α_μλν=

これには、何か意味があるのでしょうか？
本によりけりなので、覚え方に影響して困っています。

回答No.2

chukanshi · ベストアンサー

この問題は、単にnotation（表記法）の問題であって、物理とは関係ありません。
実は、私もかなり悩んだことがあるのですが。。。
要するに例えば、電子の電荷に負符号をつけるかつけないかという問題と同じです。（電子の電荷を-eとするかeとするかで、式の符号が変わってきますよね。それと本質的に同じことです。）

で、相対性理論の場合は、空間にマイナス符号をつけるか、もしくは、時間の方にマイナス符号をつけるか、で式の符号が違ってきます。
たぶん、計量テンソルの定義をみれば、一番わかりやすいのではないでしょうか？
（たしかそうです）
g_i_j　（の対角成分）
=(1,1,1,-1)　ととるか
=(-1,-1,-1,1)　ととるか
etc
第３成分を時間にとるか、第０成分を時間にとるかという違いも
ありますし。
それから、
g_i_j=(1,1,1,1)
g^i^j=(1,1,1,-1)
というようなこともありえないわけではないですね。
いろいろ表記法の定義の仕方はありますよね。
おそらく、符号の問題はこの辺が原因です。
著者の好みです。
親切な（これが当たり前だと思うが）本なら、この本ではどういう表記法を
使うというのがまとめてあるはずです。
そこでの表記法の定義が同じならば、式の符号も同じになるはずです。
一度表記法を決めたら、その本は、その符号で首尾一貫しているはずです。
符号によらず、首尾一貫していれば、記述している物理内容は同じです。

お礼

ありがとうございます。お礼遅れてすいません。
参考にさせていただきます。

回答No.1

noname#108554

どう定義しようと大勢には影響しないですし・・・
覚え方は、いつも同じ本を参照していれば、そのうち覚えますし・・・
一番いいのは、定義を覚えようとせず、計算したいときはその本の定義に戻るということでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
どう定義しても大勢には影響がないというのは、要するにどちらの形にしろ、ベクトルを平行移動して違う経路で、ある点に持っていったときの曲がりをあらわすものだからということでしょうか？