球体の転がる速度

質問

球体の転がる速度って球体の重さに影響されるのでしょうか？
摩擦抵抗・傾度・球体の大きさが同じで、球体の重さだけ違うと考えた場合どうなんでしょうか？
小学生の息子が疑問を持ちましたが、答えられません。どなたかわかる方教えてください。

回答No.10

yokkun831 · ベストアンサー

No.2です。アドバイスされているように，話をもどしましょう。
>摩擦抵抗・傾度・球体の大きさが同じで、球体の重さだけ違うと考えた場合どうなんでしょうか？

まず，「摩擦抵抗」が摩擦力の大きさをさしているのならば，重さが変われば近似的にはそれに比例して摩擦力も変わるので「大きさが同じ」ことはありえません。でも，ここは素直に摩擦係数が同じという意味と私は理解しました。
また，空気抵抗は大きさが同じならば同じになり，質量に無関係なので，空気抵抗を考慮するならば軽い球体ほど遅くなるのは明らかですね?　ちなみに，ガリレオは空気抵抗の影響を正しく認識した上で，その影響が無視できる条件のもとでの落下の同時性を言明しています。

この問題の面白さは，枝葉末節をのぞけば，
「球体の転がる速度は球体の重さに影響」されないという点だと考えます。さらに私は，これは大きさが変わっても同じですよ・・・とその面白さを発展させたいと思ったのです。もちろん，このことは質問の範囲を逸脱していますが，息子さんの疑問を発展させるよい題材になると思います。

ただし，球体は質量が異なっても，いずれも密度は一様で，中身のつまったものとしましょう。このルールが守られなければ，速さは変わりますよ，ということをいいたいがために缶ジュースの話を出しましたが，面白い例であるとしても，質問から話題がはずれていくきっかけになってしまったようです。

すでに指摘があったように，曲面上の転がりの場合には，大きさによって運動は変わります。重心の軌跡が等しくならないからです（同じ運動をしたことにならない）。

結論：傾角が一定の斜面上をすべることなく転がる場合に，一様につまった球体が定まった距離を転がり落ちる時間は，
(1) 質量　(2) 密度　(3) 大きさ
に無関係にほぼ等しくなります。「ほぼ」の意味は，現実には空気抵抗やすべりや弾み・・・等々によってわずかに差が出ることがあるということ。でもこれは上の面白い結果を見失わせるようなものではなく，まさに枝葉末節なのです。

回答No.17

yokkun831

>スロープのてっぺんから

よく読みとっていなかったので，この点だけ申し上げないと失礼と思いますので。
スタート地点が水平であるという意味ですね?
スロープ途中では常に，球の底の位置で比べればよいということになります。
概ねおっしゃることが理解でき，また同意もできました。

お礼

ありがとうございました。皆様に回答を頂きただただ感謝しておりますが、私達にはちょっとばかり難しいみたいです。とにかく実験はやってみようと思います

回答No.16

yokkun831

>重心の軌跡はスロープに平行になります。高さの差を球の半径の大小に関係なく一定とすることが出来ます。

問いかけられた点は，曲面の場合です。スロープに平行な重心の軌跡を，球の半径の大小に関係なく同じにすることができないことは明らかです。多分，球の半径が曲面の曲率半径に対して十分小さいという近似を考慮されているのだと解釈します。
いずれにせよ，「曲面の場合」という問題も，「半径の大小によって」という問題も質問されたテーマからはずれているので，このQ&Aにおいては，これ以上の議論は差し控えさせていただきたいと存じます。

回答No.15

htms42

スロープの途中で高さをあわせるのは難しいです。でもスロープのてっぺんから転がせば重心の軌跡はスロープに平行になります。高さの差を球の半径の大小に関係なく一定とすることが出来ます。工夫次第です。

お礼

ありがとうございました。皆様に回答を頂きただただ感謝しておりますが、私達にはちょっとばかり難しいみたいです。とにかく実験はやってみようと思います

回答No.14

yokkun831

申しわけありません，訂正はこれで最後です。

>重心の初めの高さをそろえることは・・・
これでは，やはり速さが異なることになりますね。凹面の最下点に来たときを比べてみてください。スタート時，最下点をそろえるという限定をつければ，大小の球で速さは変わらないことになります。ただし，これだと転がり距離は大小で違ってしまいます。同じ接地点位置でスタートさせても，その後の同じ接地点での速さは大小で異なりますね。

回答No.13

yokkun831

すみません，補足です。

前半についてですが，重心の初めの高さをそろえることは問題の前提ですから，おっしゃるとおり重心の運動エネルギーと回転の運動エネルギーが常に一定の比で配分されることを考えれば，曲面でも速さは変わりませんね。この点については曲面上の転がりに対する私の勘違いがありました。お詫びとともに前言撤回いたします。

回答No.12

yokkun831

#10です。回答に対する質問にお答えするのはちょっと気が重いですが，大切な点なのでご勘弁を。

>傾角一定の斜面でもスキーのジャンプ台のようなスロープでも
落下による高さの差が同じであれば同じ速さになります。

私は，球体の半径が曲面の曲率半径に対して無視できない場合，「高さの差」が同じにならないことを#3さんの指摘にしたがって考慮したつもりです。重心の落差を同じにするという前提は質問にありませんし，また，単に転がる速度とありますから，曲面の途中にあるときの速さを比べることも考えに入れました。

摩擦力が転がりにおいて，エネルギー散逸に関与しない（いわゆる転がり摩擦＝弾性変形によるエネルギー散逸は無視できるものとして）という点については，まったくおっしゃるとおりです。しかし，この摩擦力が質量に比例していなければ重心の加速度および回転の角加速度は質量に依存することになります。もちろん，すべりのない転がりという拘束によって自動的にこの比例関係は保証されることになるでしょう。私は，摩擦力を含め，運動に関わるすべての力が質量に比例することが，運動が質量に依存しないことの重要なポイントであることをいいたかったのでした。

ただ，一点素直に同意できない部分を畏れながら申し上げます。「静止摩擦力は仕事をしません。」という表現はよく使われますが，誤解のもとになるので，限定的に使われるべきだと思います。重心の運動において静止摩擦力は間違いなく負の仕事をしています。もちろん重心まわりの回転において絶対値の等しい正の仕事をしているために，力学的エネルギーの総量は保存されているのですね？重心の運動と重心まわりの回転運動について，個別の運動方程式が書ける以上，静止摩擦力による仕事は厳として意味のあるものであると考えます。エネルギー散逸をともなう摩擦力（動摩擦力）のみに仕事を限定するのは，「仕事」概念の限定的な用法であると私は思います。

回答No.11

htms42

＃７、＃８です。

＃１０様

＞曲面上の転がりの場合には，大きさによって運動は変わります。

曲面とはどういうものでしょう。
すぐ後に「傾角が一定の斜面上をすべることなく転がる場合に，・・・」という文章がありますから私の書いたスキーのジャンプ台のようなスロープは曲面の例になっているようですね。

滑ることなく転がるという条件が実現していれば
傾角一定の斜面でもスキーのジャンプ台のようなスロープでも
落下による高さの差が同じであれば同じ速さになります。
一様につまった球体で比べるのであれば密度、半径に関係しません。
＃７に書いた「位置エネルギーの５／７が重心の運動エネルギーに、２／７が回転の運動エネルギーに移る」というのは傾角一定でなくても成り立つことです。

ついでに摩擦について書きます。
「摩擦がなければ」とか「摩擦が一定であれば」とかの言葉が出てきています。これは摩擦があれば運動の邪魔をすると無意識のうちに考えておられるからではないかという印象を持ちました。
でも何度も書いて来ました「滑ることなく転がる」という運動は摩擦がなければ実現しないのです。これは静止摩擦力です。静止摩擦力は仕事をしません。運動摩擦力は滑る時に問題になります。エネルギーを失います。
普通は静止摩擦力≠０であれば運動摩擦力≠０です。
滑らずに転がるという条件は静止摩擦力だけが働いていて運動摩擦力は働いていないという場面が実現されているということになります。したがって運動摩擦係数の大小も関係がないのです。

＃７に書いたスキーのジャンプ台のようなスロープでビー玉を転がして落下距離と水平距離を調べます。ほぼ計算通りになります。机の上から落下させてもたんすの上から落下させても当たります。
空気抵抗も摩擦もほとんど関係しません。

回答No.9

makoto_y

ANo6です。
不適切な内容でした、お詫びいたします。

お子さんとの実験はお勧めしたいです。

いろいろ実際にやってみて下さい。

失礼しました。

お礼

ありがとうございました。皆様に回答を頂きただただ感謝しておりますが、私達にはちょっとばかり難しいみたいです。とにかく実験はやってみようと思います

回答No.8

htms42

＃７です。
＃６は何を調べている実験ですか。
「論より証拠」といっておられますが論旨が明確ではありません。
「質量が大きければ速く落ちる」という主張なんでしょうか。
＃２に
＞同じ円筒形でも空き缶はより遅く，ジュース入りの缶はジュースがほとんど回転せずに缶のみが回転するためにより速くころがります。つまり見た目の形でなく中身のつまり具合などによって回転の慣性が異なるわけです。

と書かれています。
質量の違いによって運動がどのように変わるかを議論する場面に質量の違い以外の要素を持ち込めば混乱します。＃２では速さの違いは質量の違いから出たたものだとはしていないのです。つまり具合（質量分布）や回転能力が変わったということが理由だとしています。

＞慣性モーメントも空気抵抗も誤差の範囲内です。
という文章を読むと同じだといっているような気もします。
よく分かりません。

もともとの質問は球の回転についてでした。質量によって回転の速さがどう変わるかというものです。この場合でも中空の球と中身のつまった球を比較しているとは思いません。均一で中身のつまった、質量が異なる球で比較されているのだと思います。

円筒で比べるのであれば質量の異なる円筒で比べるべきです。液体を片方に入れて比べると何を見ているかが分からなくなります。

回答No.7

htms42

「球体の転がる速さ」という言葉が少し曖昧ですので回答がばらついています。

「物体が落下する時の速さは質量に関係するか」という問いを「転がる場合」に置き換えて考えたものだとしていいのでしょうか。
落下は重力が原因で起こります。転がるというのも重力だけで起こる場合を考えておられると理解して答えます。

「物体が落下する時の速さは質量に関係しない。落下した高さの差が同じであれば速さは同じになる。」

「球体が斜面を転がり落ちる時の速さも球体の構造が同じであれば質量に関係しない。落下した高さの差が同じであれば速さは同じになる。」
※滑らずに転がるという条件が必要です。摩擦がある事によってエネルギー保存が保障されるという面白い結果になります。
※球体の構造とは外形だけでなく内部の構造（密度分布が一様）までを含んで考えています。（半径には無関係です。）
※斜面が直線的か曲面的かには関係しません。

小学生だということですから板で斜面を作って大きさの違うビー球、パチンコ球等でやってみられてはいかがですか。
机の上の端において床の上のどこに落ちるかを調べるといいでしょう。

滑らずに滑らかに転がるという条件が実現しているかどうかに注意してください。

水平に飛び出すようにして飛距離を比べるのであればカッターシャツの入っている箱やお菓子の箱に使われているような紙と板切れでスキーのジャンプ台のようなものを作ります。
・ダンボールのように硬いものは折れ目が出来ますのでそこで跳ねてしまいます。
・ツルツルの紙であれば滑りながら転がるということが起こります。
・球が転がる時にスロープがたわむとエネルギーを失います。スロープの下にスペーサーを入れて動かないようにします。

１，２度やって落下地点が分かったらその位置にパチンコ玉を１列に並べておくといいです。別の球を同じ位置から転がして当てるというのがやりやすくなります。（割り箸でやってもかまいません。）

ビー玉やパチンコ玉を使って、高さの差が１～２ｍ程度であれば空気抵抗の影響は問題にしなくてもかまいません。スロープのたわみの影響の方が大きいです。
球体を斜面の同じ高さから落とすというのも難しいです。スロープの高さが１０ｃｍだとします。転がす最初の高さが１ｍｍ違うと１％のずれです。落下地点までの距離に１ｃｍ程度のずれが出ます。そういう大雑把なものだという押さえが必要です。

滑らずに転がるという条件が成り立っている時、球が１回転すると斜面に沿って転がる距離は球の円周に等しくなります。
この時、球の運動エネルギーの５／７が重心の運動エネルギー、２／７が回転の運動エネルギーになります。

質量が２倍になれば運動エネルギーは２倍になります。２倍の大きさの力で加速しないといけなくなります。重力が原因の運動であれば質量が２倍になると重力は２倍になります。落下した高さの差が等しい時、速さは質量に関係しないという結果が出てきます。