球体の面積と体積の関係

質問

以前知り合いが球体の面積と体積について、「球体が何個か集まって面積が5倍になっても体積は5倍にならない」と言っていました。
5倍にならないのなら体積は何倍ぐらいになるのだろうかと最近疑問に思ったのですが、どれぐらいになるのでしょうか。
ご存知の方よろしくご教授ください。

回答No.4

arain · ベストアンサー

No.1一応補足。
No.1は一つの球体としての仮定です。

>ごろごろと球体があるだけではなく、５つの団子をくっつけて１つの団子にした場合というニュアンスだったと思います。
この場合「点」ではあれど、球と球は「接触」しており、この部分は「表面積」からは場外されます。
その為、接触状態の表面積は球５個が独立して存在する場合の表面積の合計より極小ながら少なくなります。
イメージしにくい場合は、まず面接触でイメージしてください。
同じ大きさの立方体が２個あった場合、二つの面を接触させ一つの直方体を作りだした場合、体積は二倍になりますが、双方の立方体の一つの面の面積は消失することになります。
完全な球体であれば、接触は極小の「点」になりますが、「接触」が発生すれば、「表面」としては現れることはなくなります。
これを考慮しなければ単純に表面積が５倍なら、体積も５倍になります。

お礼

接触を考慮すると体積５倍に比べて、表面積は若干少なくなるのですね。
面接触の説明をしていただいたおかげでイメージしやすくなりました。
ありがとうございました。

回答No.3

86tarou

球体が何個か集まって…＞
半径が５倍というなら同じにならないのは分かりますが、同じ球体が５個とあるだけということなら同じく５倍です。
５個の球体合計の表面積＝球体の表面積×５
５個の球体合計の体積＝球体の体積×５

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

noname#160321

>面積が5倍になっても体積は5倍にならない
ごろごろと五つの球体があるだけなら体積も五倍ですが…。

お礼

ありがとうございます。
書き方が悪くてすみません。
ごろごろと球体があるだけではなく、５つの団子をくっつけて１つの団子にした場合というニュアンスだったと思います。

回答No.1

arain

球体の半径を「ｒ」とした場合
球体の体積は「４／３×（π×ｒ３[rの三乗]）」
面積は「４π×ｒ２[ｒの２乗]」

ある球体の半径を「ｒ１」とし求めた球体の体積「Ｖ１」を５倍にした球体の体積を「Ｖ２」とする。
同時に「ｒ１」で表面積「Ｓ１」を求めておく。
その「Ｖ２」から半径「ｒ２」を求め、求められた「ｒ２」から表面積「Ｓ２」を求める。
「Ｓ１」と「Ｓ２」を比較すれば何倍かわかる。

お礼

ありがとうございます。
計算してみます。