二次関数 y＝x^2＋2x＋4 のグラフの書き方を教えてください。

質問

y＝－4x^2
y＝－6x^2－4
y＝5（x－7）^2＋9

↑のような
グラフの書き方（頂点がわかる方法）は勉強して
なんとか理解できたんですが…

y＝x^2＋2x＋4 の様な
x^2と、さらにxがあるような式の
グラフの書き方（頂点の求め方）が分かりません。

どのように解いて
頂点を求めたらイイんでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

平方完成という言葉で調べてください。

「変形」の仕方は、展開したら元の式になるように頑張って変形していくとしか言えません。

例えば
　　y = x^2+ax+b
という式を平方完成してみましょう。
　　y = (x+□)^2+○
という形に変形できるとして
これを展開すると
　　y = x^2+2□x+□^2+○
となりますね。

いま定数項の部分はとりあえず後回しにして、xの係数だけ見てみましょう。
xの係数は2□ですね。これがaになるのですから
　　2□ = a
　　□ = a/2
で、□に入るのはa/2ですね。
つまり最初の式を平方完成すると
　　y = x^2+2ax+b = (x+a/2)^2+○
という形になりそうです。
もっと言えば、今回の場合に限らず、平方完成した後の□に入るのは、xの係数に1/2を掛けたものと言えます。

では次に定数項を求めていきましょう。
　　y = x^2+ax+b
を、
　　y = (x+a/2)^2+○
という形に変形できるとして、右辺を展開すると
　　y = (x+a/2)^2+○ = x^2+ax+(a^2)/4+○
ですね。
これの定数項の部分の(a^2)/4+○がbになるわけですから、
　　(a^2)/4+○ = b
　　○ = b-(a^2)/4
で、○の中に入るのはb-(a^2)/4ですね。
つまり元の式を平方完成すると
　　y = x^2+ax+b = (x+a/2)^2 +b-(a^2)/4
になりそうですね。

では確かめ算。(x+a/2)^2 +b-(a^2)/4を展開してみます。
　　(x+a/2)^2 +b-(a^2)/4 = x^2+ax+(a^2)/4+b-(a^2)/4 = x^2+ax+b
よって、正しく平方完成出来ていることが分かりました。

これと同じ手順でy=x^2+2x+4も平方完成出来ます。
まずy=x^2+2x+4が
　　y = (x+□)^2+○
という形に変形できたとして、右辺を展開してみると
　　y = (x+□)^2+○ = x^2+2□x+□^2+○
xの係数を見比べると、2□が2になるんだから□に入るのは1と分かる。
(□の中にはxの係数2に1/2を掛けたものが入ることも思い出そう)
だから、y=x^2+2x+4は
　　y = (x+1)^2+○
という形に変形出来そう。
○の中身を求めるために右辺をもう一度展開する。
　　y = (x+1)^2+○ = x^2+2x+1+○
定数項の1+○の部分が4になるんだから、○に入るのは3だと分かる。
よってy=x^2+2x+4を平方完成すると
　　y = (x+1)^2+3
になるようだ。

最後に確かめ算、
　　y = (x+1)^2+3 = x^2+2x+1+3 = x^2+2x+4
よって、ちゃんと平方完成できた。

平方完成はなかなか複雑で間違えやすい変形です。完全に身につけようと思ったらそれなりに練習問題をこなさないといけません。
しかも今回はx^2の係数が1ですが、x^2の係数が1ではない場合も出題されます。その場合も今回と同じ手順で平方完成出来るのですが、さらにややこしくなってしまうのは事実です。
ですから、とにかく自分で納得して理解できるまで練習問題をやってみてください。完成した式をもう一度展開してみれば自分で答え合わせも出来ます。
慣れてくれば暗算で変形できるようになるので、それまで是非頑張ってみてください。

回答No.4

sugakusya

>どのように解いて
>頂点を求めたらイイんでしょうか？

あなたの得意な
y=a(x - p)^2 + q
の２乗部分を展開して
y = a^x2 + bx + c
と比較してみると公式みたいなものが発見できるのでは？

回答No.3

arrysthmia

y＝5（x－7）^2＋9
のグラフの書き方がわかったのならば、
二次関数の式を
y = a x^2 + b x + c ＝ a (x - u)^2 + v
と書き換えると何がウレシイのかは
見当がついているハズです。

この書き換えには、「平方完成」を使います。
平方完成は、二次関数よりも前の、
二次方程式の単元に登場します。
教科書を読み直すときは、そちらを。

回答No.1

pasocom

たとえば「y＝x^2＋2x＋4 」の場合、これをy＝（x+1）^2＋3　と変形します。
基本としてy＝ｘ^2　のグラフは原点を頂点とする放物線として理解していると思います。それに対して一般に y＝（x+a）^2＋b　と言う式は y＝ｘ^2グラフをX軸のマイナス方向（左）にa、Y軸プラス方向（上）にbだけ平行移動したグラフになります。
ですから、y＝（x+1）^2＋3のグラフはy＝ｘ^2のグラフを左に1、上に3移動させたものになるのです。

補足

回答ありがとうございます。
「y＝x^2＋2x＋4 」を変形してy＝（x+1）^2＋3
というのは、どういうことでしょうか？

参考書にも「変形」と書いてあるんですが
この「変形」の仕方が分かりません。

馬鹿ですみません。
もし、よろしければ解説お願い致します(>_<")