y=x*(1-x)^(2/3)のグラフ

質問

関数y=x*(1-x)^(2/3)のグラフの概形を描きなさいという問題があって、問題集の解答を見たところ、xの座標が1より上のところにはグラフは存在していませんでした。つまり、このグラフはx≦1の範囲でしか描くことができないということです。
しかし、疑問に思ったのですが、たとえばx=28のとき
y=28*{-27^(2/3)}=28*(-3)^2=28*9=252　とはならないのでしょうか？

回答No.4

info22 · ベストアンサー

> このグラフはx≦1の範囲でしか描くことができないということです。
そうですね。
なぜ描けないかというと、#2さんのいわれる理由だからですね。
もう少し詳しく言えば、
x>1　では
　(1-x)^(2/3)　の項が多価関数になり、1つの x に対して
　(1-x)^(2/3)　の値が３通り存在し、1つの値に確定しないからですね。
　これを未定義とか、値が存在しないとして扱うわけです。

もっとも、３通りの値のどれか１つで(1-x)^(2/3)の値を定義するような条件をつければ、一意的に値がきまりx>1以上でも定義できるかも知れない。
たとえば,x>1の時、(1-x)^(2/3)=(|1-x|)^(2/3)…(◆)　と定義するとか。

でも、こういった扱いは、高校以下の数学では扱わないので、未定義とするのが自然だろうね。

少し難しいかも知れないが、x>1の時の
１つのxに対してy=x(1-x)^(2/3)の値は次の3通り存在します。
x(|1-x|)^(2/3), x{(|1-x|)^(2/3)}(-1±i√3)/2　…(●)
（最初の値は実数値、後の2つは共役な複素数値の対です。）

>y=28*{-27^(2/3)}=28*(-3)^2=28*9=252　とはならないのでしょうか？
高校数学までの数学では、A^(2/3) (A<0)の場合に当たるので
求まらないとすべきかと思います。
つまり(●)のような3つの値が存在する場合は未定義（値が求まらない）
として扱います。

x>1でｙを(◆)で定義するなら x>1 でもグラフを描けるかと思います。
このような扱いをすれば、#1さん、#3さんの主張となるかと思います。
でも、このような定義は、一般の数学ではあまりしないと思います。

お礼

詳しくご説明してくださってありがとうございました。
定義されていないと複素数の解も入ってしまうんですね。

回答No.9

info22

#4,#8です。

#8の補足です。

フリーソフトですが、
グラフィックソフト「Function View」を
使った場合は式通り「x*(1-x)^(2/3)」の入力でグラフをプロットすると
x>1でもプロットします。
つまり、x*(1-x) ⇒ x*(|1-x|)^(2/3)=x*((1-x)^2)^(1/3)
として計算していますね。

要は x<0の時 x^(1/3)を実数の「-|x|^(1/3)として定義するか、
xの3乗根は３つ（実数１つと共役複素数の２つをあわせた３つ）
あるので未定義とするか
の立場の違いでしょうね。プロットソフトでも、未定義扱いが
多いですが、実数のものを採用すると定義してあつかうものも
あるということです。

回答No.8

info22

#4です。
参考までに実際に、良く使われているソフトでグラフをプロットしてみた結果を書きます。

２Dプロットソフト「GRAPES」
数式処理ソフト「Maple10」
数式処理ソフト「Maxima」
の３つのソフトで y=x*(1-x)^(2/3)の式どおり
「x*(1-x)^(2/3)」を入力し x=-2～3の範囲でプロットさせて見ましたが
全てのソフトのプロット結果は
x≦1の範囲だけプロットしてくれただけでした。
x＞1以上の範囲はどのソフトもプロットせず、未定義扱いですね。

「x*(|1-x|)^(2/3)」と絶対値をつければ
　x>1の範囲もプロットしてくれますが。。。

回答No.7

OurSQL

#2です。
ちょっと説明不足だったようなので、補足します。

> 関数y=x*(1-x)^(2/3)のグラフの概形を描きなさいという問題があって、問題集の解答を見たところ、
この部分を見た感じでは、質問者さんは高校生と思います。
間違っていたら済みませんが、そういう仮定で書かせてください。

> y=28*{-27^(2/3)}=28*(-3)^2=28*9=252　とはならないのでしょうか？
おそらく、(-27)^(1/3) = -27 の３乗根、と考えているのではないでしょうか。
-27 の３乗根は -3 ですが、(-27)^(1/3) = -3 と考えるのは、ちょっと無理があります。

ちなみに、質問者さんは、(-27)^(2/6) の値を尋ねられたら、おそらく 3 と答えるのではないでしょうか。

1/3 = 2/6 であるのに、(-27)^(1/3) と (-27)^(2/6) が異なる値では不都合です。

よって、r が 整数に等しくない有理数のとき、a < 0 である場合まで a^r を無理やり定義してもメリットがありません。

以上のような理由で、(-27)^(1/3) は定義しない。
また、こういう流れの中で (-27)^(2/3) をわざわざ定義しても、やはり混乱を招くだけです。

お礼

ありがとうございました。
3乗根と思っていました。
そうすると答えが一通りに定まらなくなってしまうんですね。

回答No.6

noname#82102

No.5の者です。一部訂正があります。

＞x,yは明らかに実数の範囲で扱っているので、1-xは実数。よって(1-x)^(1/3)は実数に1個、虚数に2個ありますが、前述の理由で、虚数の2個は無視します。

の部分を、

そのうちの実数のものを3√(a)やa^(1/3)と表すことになっています。
x,yは明らかに実数の範囲で扱っているので、1-xは実数。よって(1-x)^(1/3)も実数となります。

に置き換えてください。

回答No.5

noname#82102

何だかいろいろな意見がありますが、自分の意見を書きます。間違っていたらごめんなさい。

式のy=x(1-x)^(2/3)ですが、ここの^(2/3)というのは3乗根の2乗という意味です。
ここで、aを実数とするとき、aの3乗根はaの正負に拘らず常に実数に1個、虚数に2個存在します。
x,yは明らかに実数の範囲で扱っているので、1-xは実数。よって(1-x)^(1/3)は実数に1個、虚数に2個ありますが、前述の理由で、虚数の2個は無視します。
あとは、全て実数の四則演算なので、yも実数になります。
よって、実数の範囲であれば、xの任意の値に対して、yの値が常に1つに決まります。
だから、
＞このグラフはx≦1の範囲でしか描くことができない
なんてことはありません。
あと、x＝1のときは、1*0^(2/3)となり、0の3乗根は勿論0なので、複素数の範囲で考えても、y=0にしかなりません。

お礼

グラフまで添付してくださってありがとうございます。
補足もありがとうございました。

回答No.3

kabaokaba

>このグラフはx≦1の範囲でしか描くことができないということです。

特に問題に制限がついてないなら，これは間違いです．
この関数は全実数で定義されてて，
x=1では微分できないだけで連続な関数です．

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

OurSQL

x = 28 だと、(1 - x)^(2/3) は (-27)^(2/3) ということになりますが、これは値を持ちません（値は定義されません）。

回答No.1

owata-www

もしその問題が正しいなら1≦xの時の解(y)は存在します、解答が間違っているかと

お礼

ありがとうございました。