中学数学の問題

質問

諸事情あり中学数学の勉強をしております。
数十年ぶりにやっているのでもう記憶が全くなく悪戦苦闘しております。
色々調べながら勉強しておりますが、どう調べても分からない問題がありましたので
解き方を教えていただければ幸いです。

1.一定の速度で走っている列車がある。
　列車は550mの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまで20秒掛かった。
　また1850mのトンネルに入り終わってから出始めるまで28秒掛かった。
　この時列車の全長は何ｍですか。

　答え：450mとのことですが、どうしても540mになってしまいます。

2.左上より時計と反対周りにABCD、の角から構成される長方形がある。
　AB（左縦線）＝9cm、AD（上横線）＝8cmである。
　辺BC（下横線）から右への延長上にBC:CP＝2:1となるような点Pをとり、
　点Aと点Pを結ぶ（左上角から右下点Pへの線が出来る）。
　また線分APと辺CD（右縦線）の交点をQとする。
　（CDの上半分よりやや下に点Qが出来る）
　さらに辺BC（下横線）上に∠AQR＝90度となるような点Rを取り
　点Aと点Rを結ぶ。
　この時△ARQ（長方形ABCDの中に出来た三角形）の面積を求めなさい。

　答え：18と4分の3平方センチメートル
　とのことですが、こちらは全くどのようにすればよいのか分かりません。（図がなくわかりにくくてすみません）

　お分かりの方いらっしゃいましたら教えていただきますようお願いいたしますm(__)m

回答No.4

J2J · ベストアンサー

(2)について
題意より、BC:CP=2:1　…(1)
よって、CP=4　…(2)

BP=12　…(3)
であるから、
三平方の定理より
AP=15　…(4)

ABCDは長方形であるから
∠D=∠QCP=90°　…(5)
同意角より
∠AQD=∠PQC　…(6)
２角が等しいので、
△ADQ∽△PCQ　…(7)

AD:PC=2:1　…(8)
となる事から、式(4)と相似に対応する辺より、
AQ=10,QP=5 …(9)
同様に、
DQ=6,QC=3　…(10)

△QCPと△RQPは
共に直角を持ち、∠Pを共通に持つ事から、
△QCP∽△RQP　…（11)

QRについて考えると、
QC:QR=PC:PQ　・・・(12)
QC:3=5:4
よって
QC=15/4 …(13)

∴△ARQの面積は、
RQ*AQ/2=150/8
=18*3/4[cm] …（14)
だと思います．

お礼

J2J様の解説を図を見ながら読ませていただき、
（私にとっては複雑な）(2)の問題を
ようやく明確に理解することが出来ました。
このように相似を駆使する問題だったのですね…
大変わかりやすい図をつけて解説いただき
本当にありがとうございました。
理解出来ると数学も楽しいですね(^^♪

回答No.5

J2J

#4の解の訂正です

（誤）=18*3/4[cm] …（14)

（正）=18と3/4[cm] …（14)

ですね

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

taku1114

私用により，1.のみ解答します．

図を参照してください．L=450と出ますよ！
多分，質問主さんは，下のMiss Pointと書いた図の解釈で間違われたのかと思います．

お礼

おっしゃる通りです！
taku1114様の図のMiss Pointにて確認させていただき
私はそれぞれ列車二台分を調整していたのだと判明(>_<)
分かりやすい図をつけていただき、
おかげさまでよく理解することができました。
ありがとうございました。

回答No.2

orcus0930

(1)は
550+L=20v
1850-L=28v
です。ちょっと図を書けば、この式は出るはずです。
v=50となるので、L=450になります。
連立方程式がいやだったら、橋のときとトンネルのときの速さが等しいことを利用して、
(550+L)/20=(1850-L)/28を解けばいい。

(2)は相似な三角形がいっぱいできるので、相似比を使う。
ΔADQ∽ΔPCQ∽ΔPQR∽ΔQCR
を使えば解けると思う。

お礼

(1)はそれぞれ列車一台分を調整するべきだったのですね！
(2)は相似比を使うのですね。
おかげさまで解答することができました。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

1. 列車の長さを L[m], 速度を v[m/s] とすると
550+2L = 20v, 1850-2L = 28v
か? あれ, でも L = 225m になるなぁ.
2. 多分, 図を描いて「こことここが相似だからここの長さがこうなって...」とやればできる, はず.

お礼

解答のヒントになり助かりました。
どうもありがとうございました。