2重積分に関してです

質問

∫∫(√ｘ)dxdy {範囲はx^2-x+y^2≦０です}
がわかりません。。。
どなたか解き方よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足質問の回答
>同じように-√(x-x^2)～√(x-x^2)まで積分して、今度はそれを0～1まで積分してみましたが、解けませんでした。（ちなみに答えが０になりました。）

単なる計算間違いです。計算間違いをしないように、積分の対称性は出来るだけ利用してください。
>-√(x-x^2)～√(x-x^2)まで積分して
yに対して対称なので、yについて0～√(x-x^2)まで積分して2倍する。
計算が書いてないので分かりませんが、ここで積分をゼロにする計算間違いをしたと推察される。

>置換をしなければ解けないのですか？
置換するか、しないかは、解けること、計算が簡単になること（計算が簡単になれば計算ミスが減る）ことで判断すればいいかと思います。
どちらを選ぶかは、経験による感ですね。同種の問題を沢山解くことで感が養われます。

質問者さんの方法でやった場合、
最初yで積分すると
Iy=2x√(1-x)が出てきて、
次いでxで積分すると
I=8/15
が出てきます。
見直してみて下さい。

置換する方法も覚えればいいですが、やったことのないことを、初めてテストで使うと、計算ミスをしますので、慣れている方法でやった方がいいでしょう。時間に余裕があるなら、置換法も試して、マスターしておけば、以降の積分の解法のレパートリーが増えます。

お礼

回答ありがとうございます！
8/15が導けました！
不定積分を求める段階で計算間違いをしていました・・・。
でも無事解決してよかったです。ありがとうございました。

回答No.1

info22

解き方のヒントのみ）
x=rcosθ,y=rsinθで置換する。
置換後の積分領域は　0≦r≦cosθ,-π/2≦θ≦π/2。
ヤコビアン|J|を忘れないこと。

質問は自力解答を補足に書いた上で行うこと。

補足

すいません。
わたしは
∫∫（2x+3y）dxdy ｛範囲はx^2+y^2≦a^2 x≧0,y≧0｝という問題を先に解いたのですが、このときは、範囲が中心が原点の半径aの円の1/4の部分なので、まず、2x+3yを０～√(a^2-x^2)までｙについて積分した後に、こんどはそれを0～1までxについて積分するという方法で解きました。

今回質問した問題も、範囲が中心（1/2,0）半径1/2の円の境界および内部でしたので、同じように-√(x-x^2)～√(x-x^2)まで積分して、今度はそれを0～1まで積分してみましたが、解けませんでした。（ちなみに答えが０になりました。）

自力解答はこんな感じです。

あと思ったのですがこの問題は置換をしなければ解けないのですか？
だとしたら、なぜ最初の問題は置換せずに解けて、今回は置換しなければならないのかがわからなくなります。

申し訳ありませんが回答よろしくお願いします。