２重積分の計算方法

質問

下に書いた２重積分の方法を教えてください。

0≦x≦1, 0≦y≦x^2　の範囲で、
∬e^(y/x)dxdy

e っていうのはネイピア数です。
何題も悪いんですが…

a≦x≦b, c≦y≦d の範囲で、
∬xy sin(x^2+y^2) dxdy

どうかわかりやすい説明をお願いします。

回答No.1

sakura_214 · ベストアンサー

特に変数変換の必要もないので，少々長いですが，地道に計算していきましょう．ある積分変数（例えばy）で積分計算している間は，その他の変数（例えばx）は定数として扱うことができます．

> 0≦x≦1, 0≦y≦x^2　の範囲で、
> ∬e^(y/x)dxdy

∬e^(y/x)dxdy
=∫[x=0,1]dx∫[y=0,x^2]e^(y/x)dy
=∫[x=0,1]dx xe^(y/x)|_[y=0,x^2]
=∫[x=0,1]dx x(e^x-1)
=x(e^x-x)|_[x=0,1]-∫[x=0,1](e^x-1)dx
=x(e^x-x)|_[x=0,1]-(e^x-x)|_[x=0,1]
=e-1-(e-1)+1
=1

> a≦x≦b, c≦y≦d の範囲で、
> ∬xy sin(x^2+y^2) dxdy

∬xy sin(x^2+y^2)dxdy
=∫[x=a,b]dx x∫[y=c,d]y sin(x^2+y^2)dy
=∫[x=a,b]dx (x/2)∫[y=c,d](y^2)' sin(x^2+y^2)dy ---(*)
=-∫[x=a,b]dx (x/2) cos(x^2+y^2)|_[y=c,d] ---(**)
=∫[x=a,b]dx (x/2) (cos(x^2+c^2)-cos(x^2+d^2))
=(1/4)∫[x=a,b]dx(x^2)' (cos(x^2+c^2)-cos(x^2+d^2)) ---(*)
=(1/4)(sin(x^2+c^2)-sin(x^2+d^2))|_[x=a,b] ---(**)
=(1/4)(-sin(a^2+c^2)+sin(b^2+c^2)+sin(a^2+d^2)-sin(b^2+d^2))

(*)から(**)への変形がよくわからない場合は，代わりにx^2+y^2=uなどとして置換積分しましょう．