二重積分について

質問

∬dxdy√（a^2-x^2-y^2）積分範囲x^2+y^2≦a^2の解法を教えてください。

回答No.2

stomachman

ご質問の定積分は
　　∫∫∫ dzdxdy (積分範囲 x^2+y^2+z^2 ≦ a^2, z≧0)
に等しい。（∫ dzだけやってみれば分かります。）つまりこの定積分は半径aの半球の体積を表している。なのでコタエは(2π(a^3))/3。

回答No.1

spring135

xy平面からrΘ平面に変換します。

x=rcosΘ, y=rsinΘ

0≦r≦a, 0≦Θ≦2π

公式

∬[Dxy]dxdyF(x,y)=∬[DrΘ]drdΘF(rcosΘ,rsinΘ)∂(x,y)/∂(r,Θ)

∂(x,y)/∂(r,Θ)=行列(a11,a12,a21,a22)

a11=∂x/∂r=cosΘ
a12=∂y/∂r=sinΘ
a21=∂x/∂Θ=-rsinΘ
a22=∂y/∂Θ=rcosΘ

∂(x,y)/∂(r,Θ)=r

F(x,y)=√（a^2-x^2-y^2)=√（a^2-r^2）

以上より

I=∬dxdy√（a^2-x^2-y^2)=∬drdΘ√（a^2-r^2)r=2π∫(r:0→a)r√（a^2-r^2)dr

u^2=a^2-r^2とおく。

rdr=-udu

I=2π∫(r:0→a)r√（a^2-r^2)dr=2π∫(u:a→0)(-u)udu=2π∫(u:0→a)u^2du

=2π[u^3/3](0→a)=2πa^3/3

Θ

お礼

ありがとうございます。