合成関数の導関数についてです。

質問

｛d (x^2)(y^2)｝/dy＝｛(x^2)(y^2)｝′＝(x^2)’(y^2)+(x^2)(y^2)’＝０+２ｙ＝２ｙ・・(1)
と合成関数の導関数についてですが、上の式は合ってますか？

(1)は (x^2)(y^2)をyについて微分する(この時y以外の文字は定数扱い)という意味ですか？

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

(d/dy)((x^2)(y^2))
　　　= ((d/dy)(x^2))(y^2) + (x^2)((d/dy)(y^2))　　（積の微分の公式）
　　　= 2(dx/dy)(y^2) + 2(x^2)y
です。もしxとyとの間に関係がある（xとyが独立ではない。xはyの（あるいは、yはxの）従属変数である）なら、式をいじれるのはここまで。なぜなら、xとyとの間に関係があるなら、yの値に依存してxの値が変わるんですから、dx/dyが0になるとは限らない。

　しかし、もしxとyとが無関係（xとyは互いに独立。xもyもそれぞれ独立変数）なら、yをどう変えてもxに影響はないのだから、dx/dy=0であり、従って
　　(d/dy)((x^2)(y^2)) = 2(x^2)y
です。

　ところで、偏微分ってのは「xとyは独立変数だとみなして微分を行う」ということなので、xとyとの関係がどうあれ
　　(∂/∂y)((x^2)(y^2)) = (x^2)((∂/∂y)(y^2)) = 2(x^2)y
です。

　いずれにせよ、ご質問にお書きの式は間違い。

お礼

ありがとうございます。
そっか、間違えていました。助かりました!

回答No.13

中村 拓男（@tknakamuri）

>（xとyが互いに独立ではないことは分かってるんだけど、そのことはまだ使わないで）
>まずfのxによる偏微分とyによる偏微分をそれぞれ計算する。
>xとyの関係は後で（連立方程式を解く段階で）使う」ということをやっている訳です。

違いますよ～

f に関して x, と y は独立変数と定義したら f の「外」で x と y の関係をどのように定義しようが、
∂f/∂x や ∂f/∂y はあくまで定義どおりに y や x を独立変数として偏微分しなきゃ「いけないん」です。
従属性を使ったらアウトなんですよ。

だからラグランジュの未定乗数法でやっていることはごく当たり前のことなんですよ。わかります？
「みなし」なんてどこにもないんです。

g(x, y)=0 とすれば、x と y は従属関係にありますが、g に対しては x と y は独立変数。

関数の入力としての独立と方程式の結果としての従属。

ここの違いをよく味わってほしいな。

お礼

ありがとうごうざいます。

回答No.12

stomachman

ANo.5にstomachmanが書いた
>> 偏微分ってのは「xとyは独立変数だとみなして微分を行う」ということ
についてどうも異論が出ているようで、質問者氏が混乱しそうな気がしますんで、詳しく説明しておきます。
　一般に、偏微分では「何を関数（従属変数）として扱い、何を（独立）変数として扱うか」を明確にしておかないと、色々混乱する場面が出てきますんで、式を手抜きしないで書くのが重要です。

　ANo.10の「反例」（一体何に対する反例になってるのか、さっぱり分かりませんが）では、2変数関数
　　f(x,y)=(x^2)(y^2)
について、xとyの間に等式
　　x = y
で与えられた関係があってxとy互いに独立変数ではない場合において、常微分を計算する話です。
　その時に、積の微分の公式
　　d((x^2)(y^2))/dy = (d(x^2)/dy)(y^2) + (x^2)(d(y^2)/dy)
を使わない。
　その代わりに、まずxとyの関係式
　　x = y
を代入して、1変数関数にしてから微分しています。これはxを変数ではなく
　　x(y)=y
という関数として扱っているということ。すなわち
　　h(y) = f(x(y),y)
の常微分 dh/dy を計算したんですね。
　これは、xとyの間の従属関係を先に代入して変数を1個にする、ということが出来る特殊な場合の話です。特殊というのは、この例ではx(y)=yが陽関数(xについて解けている関数)だから実際に代入できてhが具体的に得られるわけですが、たとえばxとyの関係が容易には解けない陰関数で与えられている場合だとそうは行かないからです。（その場合でも、積の微分の公式なら使えます。）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ところで「x=y という制約条件下で
　　f(x,y)=(x^2)(y^2)
の極値を求む」という問題を未定乗数法でやる場合を考えますと、まずはx=yという等式制約条件を、関数
　　p(x,y)=x-y
を使って表します。そして「
　　p(x,y)=0
の制約下で
　　g(λ,x,y) = f(x,y) +λp(x,y)
の極値を求む」という問題に置き換えるんです。
　これを解くには、
　　∂g/∂x = 0
　　∂g/∂y =0
　　p(x,y)=0
という連立方程式を解きます。
　そこで、fをx, yでそれぞれ偏微分して
　　∂f/∂x = 2(y^2)x
　　∂f/∂y = 2(x^2)y
を得る。pをx, yで偏微分して
　　∂p/∂x = 1
　　∂p/∂y = -1
を計算する。これで、解くべき連立方程式が具体的に
　　2(y^2)x + λ = 0
　　2(x^2)y - λ = 0
　　x - y = 0
であると分かりましたので、これを解けば、x = 0, y = 0という結果が出ます。

　さて以上の計算では、「（xとyが互いに独立ではないことは分かってるんだけど、そのことはまだ使わないで）まずfのxによる偏微分とyによる偏微分をそれぞれ計算する。xとyの関係は後で（連立方程式を解く段階で）使う」ということをやっている訳です。
　また、制約条件 p(x,y)=0 についてもpをx, yで偏微分していますね。これを「p(x,y)=0だと分かってるんだからpは定数0であり、定数なら何で微分したって0だ」とやらかしたのでは話になりません。ここでも「p(x,y)=0であってxとyが互いに独立ではないことは分かってるんだけど、そのことはまだ使わないで、∂p/∂xと∂p/∂yを計算する」んです。

　もちろん、（制約条件p(x,y)=0があろうとなかろうと、）f(x,y)のxによる偏微分 ∂f/∂xは「xとyとが互いに独立変数であるとみなしてdf/dxを計算したもの（＝yは定数だとみなしてdf/dxを計算したもの）」に他なりません。

お礼

ありがとうございます。
知るのは高校数学だけでいいんですが、２つの微分についてはおかげさまで大体分かったと思います。

回答No.11

中村 拓男（@tknakamuri）

すいません。タイポです。

>3y^3

-> 4y^3

お礼

訂正ありがとうございます。

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri）

で、いろいろ書いたけど

例えば、反例としては

　x = y なら d(x^2)(y^2/dy = dy^4/dy = 3y^3 ≠ 2y

ということです。

お礼

ありがとうございます。
そういう微分もあるんですね。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

>フツーにやりますよ。等式条件が付いた極値問題におけるラグランジュの未定乗数法をご存じないのかな？

これは独立変数間の従属関係を関数に持ち込む際、関数の形を変え、
従属関係を関数の満たすべき条件に「追い出し」、変数を「別の」関数の独立変数とするテクニックです。

必要な処置を行ったうえで、独立変数であることを保つわけで、「みなす」わけではありません。

「変数 x 偏微分で機械的に独立変数とみなしてよいか？」というのとは全然次元が違う話です。

ではでは。

お礼

ありがとうございます。

回答No.8

stomachman

ANo.7へのコメントについてです。

未定乗数法の解説はこちら http://okwave.jp/qa/q28887.html のsiegmund教授の例題が分かり易いかと。

お礼

ありがとうございます。

回答No.7

stomachman

#6<

> 決して変数を独立変数と「見なし」たりしません。

フツーにやりますよ。等式条件が付いた極値問題におけるラグランジュの未定乗数法をご存じないのかな？

お礼

ありがとうございます！
難解そうですね。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

常微分はー変数関数にのみ使えます。

偏微分は、固定する変数は
独立変数でないといけません。
決して変数を独立変数と「見なし」たりしません。
xがyとは独立ではないなら、
偏微分でもxを定数とみなすことはできません。

お礼

ありがとうございます。
なんとなく理解出来ました。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

(x^2)’= 2x(dx/dy) です。x がなんであるか示されていないので一般的には間違い。

>(1)は (x^2)(y^2)をyについて微分する(この時y以外の文字は定数扱い)という意味ですか？

xが独立変数ではなくて本当に定数なら問題ありませんが、xも独立変数なら常微分はできません。
偏微分を使ってください。

＃なんかデジャブが・・・・・・

お礼

ありがとうございます。
常微分？、偏微分？によって何か変わるようですね。

回答No.3

spring135

あきれるぐらいいい加減な議論をしていますね。

dを使うのは多変数関数の場合の全微分、又は1変数関数の場合の微分で、

(2)のような偏微分の場合には∂を使うのが常識です。

｛d (x^2)(y^2)｝/dy

はy=f(x)またはfの逆関数をgとしてx=g(y)の場合の

F=x^2*y^2=y^2*g(y)^2

をyで微分することを意味すると考えられます。

つまり

dF/dy=d(y^2*g(y)^2)/dy=d[yg(y)]^2/dy=2yg(y)d[yg(y)]/dy

=2yg(y)[g(y)+ydg(y)/dy]=2xy[x+y(dx/dy)]

=2xy[x+y/(dy/dx)]

お礼

ありがとうございます。
常微分？、偏微分？によって変わるようですね。