合成関数の微分

質問

関数 y=(x^3+1)^4　において、 u=x^3+1とおくと y=u^4となり、yはuの関数である。
すなわち、yは二つの関数 y=u^4, u=x^3+1の合成関数である。

この説明が理解できませんでした。

なぜ、yはuの関数なのか
そして、なぜ二つの関数 y=u^4, u=x^3+1の合成関数なのか。。。

教科書みてもよく分かりませんでした。

長くなっても全部読みますので、よろしくお願いします

回答No.2

aokii · ベストアンサー

関数の定義は何かを考えてみましょう。

「yは二つの関数 y=u^4, u=x^3+1の合成関数である。」は、関数 y=(x^3+1)^4は、式がちょっと複雑なので、u=x^3+1と仮に決めれば、y=u^4のように簡単な式になるので、「yは二つの関数の合成関数になる」と、人間が勝手に決めたのです。

y=u^4　や　y=125u+114 等は、yはuの関数であると言えます。
uを変化させるとyが変化すると言うことです。これを一般的にy(u)と書きます。
uを変数といいます。yを関数といいます。

u=x^3+1　や　u=12x+412 等は、uはxの関数であると言えます。
uを変化させるとxが変化すると言うことです。これを一般的にu(x)と書きます。
xを変数といいます。uを関数といいます。

数学は定義が大切な学問です。関数とか合成関数という言葉は、人間が勝手に決めたものなので、定義をしっかり理解するしかありません。言葉のような、あいまいな定義では、数学は語れないのです。

お礼

回答どうもありがとうございます。
おかげさまで理解することができました。

最後の一言かっこいいですw

回答No.1

noname#212313

>関数 y=(x^3+1)^4　において、 u=x^3+1とおくと y=u^4となり、yはuの関数である。
>すなわち、yは二つの関数 y=u^4, u=x^3+1の合成関数である。

　具体例を挙げ、極めて簡潔で、しかし実は余すところなく説明してはあるのです。しかし、そのように工夫した説明なだけに、スパッとし過ぎているという面もあります。私だと、この手の説明が飲みこめないタイプです。

　この説明をとりあえず受け入れて、そこからどうするのか、他の具体例はどうか、を見て行くのが何とか理解するための方法の一つです（※実はお示しの考え方は、それだけではありがたみがないけど、後々で便利に使えるもので、後で例をご紹介します）。

　しかし、ここでどうしても引っかかる場合もありますので、何とか工夫してみます。

　関数でよくf(x)などと書き、関数fはxを変数とすることを明示したりします。同様にお示しの式でも「y=(x^3+1)^4」も、yがxの関数ですから「y(x)=(x^3+1)^4」と書くことができます。

　関数を変えて、y(x)=x^4という関数を考えてみます。さらに、xがtの関数で、x(t)=t^3+1となっているとしてみます。すると、yをtで表すならば、y=x(t)^4=(t^3+1)^4ということになります。yとxをtの関数として並べて書くと、

　y(t)=(t^3+1)^4
　x(t)=t^3+1

という、tを（媒介）変数とするある種の連立方程式ということになります。これが最初にあるとしたら、tを消去するように解くと、y=x^4という式が得られます。お示しの説明は、こういうことを言っているのです。その説明を少し書き換えてみます。

「関数 y=u^4について、実はuがxの関数としてu=x^3+1と表されている場合は y=(x^3+1)^4となり、yはxの関数となっている。
　そうなっている場合、yは二つの関数 y=u^4, u=x^3+1の合成関数である、と言う。
　しかし、uがxの関数であることが問題とならない、つまりxを気にする必要がなければ、y=u^4のまま扱えばよい。」

P.S.

　y=u^4, u=x^3+1とするテクニックは、よく微積分で使われます。微分の公式に次のようなものがあります。

　dy/dx=(dy/du)(du/dx)　―(1)

　分数の計算みたいですが、ちゃんと成り立ちます。y=(x^3+1)^4をそのままxで微分するのは結構大変です。そこで、y=u^4, u=x^3+1と置いてみると、

　dy/du=4u^3
　du/dx=3x^2

と計算でき、公式(1)を使えば、

　dy/dx=(4u^3)(3x^2)={4(x^3+1)^3}^3(3x^2)

のように、少しは楽に微分できたりします。

お礼

とても参考になりました！
ありがとうございます＾＾