コンパクト集合

質問

L ⊂ Y がコンパクト集合のとき, f^-1(L) は必ずしもコンパクトにならないことを, 例を挙げて示せ.
という問題です。
うまい例がみつかりません＞＜
どなたか回答よろしくお願いします。

回答No.4

jmh · ベストアンサー

区間［－１，＋１］のｓｉｎ（正弦）による逆像は実数直線です。

お礼

すいません。解決しました。

補足

回答ありがとうございます。
sinによる逆像というところですこし気になったことがあったので質問させてください。

sinの逆関数arcsinの定義では定義域、地域を制限して1対1かつontoとなるようにしていますが、ここでいう逆像というのは、[-1,1]内の値をとるようなsinxのｘ全体で、[-2/π,2/π]という制限はなくなるということなのですか？

逆像と聞くとどうも
｛y∈Ｒ | y=arcsinx x∈[-1,1] ｝を考えてしまいます。
でも今考えているのは
｛y∈Ｒ | x=siny x∈[-1,1] ｝ですよね・・・？

どちらが逆像なのかよくわからなくなります。

回答よろしくおねがいします。

回答No.3

jmh

> ｆ：Ｘ→Ｙで…
>
あぁ、なるほど。では、コンパクトなＬの例を挙げてください。

補足

たとえば有界閉区間だと思います。

回答No.2

kabaokaba

自明な例があるでしょう．
全空間を一点に移したらどうなります？
距離空間で一点はコンパクトでしょう？

この手の例を考えるときには
・簡単な空間，たいていはRとかR^2で十分
・極端なもの
を具体例としてイメージして
出来上がったものを適宜抽象化するとうまくいくことが多いです．

お礼

お礼が遅れてしまい申し訳ありません。
１点からなる集合は思いつきませんでした。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.1

jmh

「L ⊂ Y がコンパクト集合」ってどういう意味ですか？

お礼

あとＸとＹは距離空間です。

補足

説明不足でした。大変申し訳ありません。
集合Ｙの部分集合Ｌがコンパクト集合ということです。
ｆ：Ｘ→Ｙでｆは連続です。