数学：集合の問題です

質問

集合の問題です。

R²の部分集合
E={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1,x∈Q,y∈Q}
は面積確定でない事を示せ。

という問題が解けずに困っています。

解答例や解答のヒントが分かる方がいましたら教えて頂きたいです。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

ちょっと記述が滅茶苦茶なので、書き直します。

D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}上で、Eの特性関数 χE (x) = 1 (x∈E), 0 (x∈ D\E)をRIemann積分した時、その積分値が確定しないことを言えば良い。

それには、Dのどんなに小さな分割を考えても、その分割の上でのRiemann和の上限と下限が近づかないことを言えばいいが、この場合、Dの任意の分割を考えた時、その分割の上でのRiemann和で、1になるものと0になるものが常に存在するので、その事（近づかない事）は直ぐに言える。

で、「1になるものと0になるものが常に存在する」ことは、Dの（任意の）分割の任意の小区間の中に、xとyが共に有理数になるもの（つまりχEが1になる点）と、xとyが共に無理数になるもの（つまりχEが0になる点）が常に存在する事から分かる。

回答No.2

tmppassenger

その細分の上で、と書いてしまったのは、正しくはその分割の上で、です。

回答No.1

tmppassenger

Riemann積分の意味で、という事でいいですかね。

E上で1をRiemann積分した時に積分不可能であることを言えば良い。それには、Eのどんなに小さな分割を考えても、その細分の上でのRiemann和の上限と下限が近づかないことを言えばいいが、この場合、Eの任意の分割を考えた時、その細分の上でのRiemann和で、1になるものと0になるものが常に存在するので、その事（近づかない事）は直ぐに言える。

で、「1になるものと0になるものが常に存在する」ことは、Eの（任意の）分割の任意の小区間の中に、xとyが共に有理数になるものと、xとyが共に無理数になるものが常に存在する事から分かる。