コンパクトな集合の例

質問

コンパクトな集合とコンパクトな集合の積集合が、コンパクトにならない例について、おしえてください

空間がハウスドルフでしたら、そのような例がないことまではわかったのですけど、具体的な例が思いつきませんでした

どうかよろしくおねがいします

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

積集合って共通部分集合(intersection)で良いんですよね。
直積集合の意味ならチコノフの定理があるし。

それで、例を考えてみました。T1にもなりませんが、T0です。
区間[0,1]に一点pを加えて
X=[0,1]∪{p}
とします。位相は[0,1]の開集合とXを開集合とします。
こうするとXはコンパクトです。またpを含む任意の部分集合もコンパクトです。
# pを被覆する開集合はXだけですから

A=[0,1]
B=(0,1)∪{p}
とするとどちらもコンパクトです。
A∩B=(0,1)
はコンパクトではありません。

お礼

なるほど～
おもしろい例をありがとうございます
なんとなく「紅一点位相」って命名したいです
スッキリしました♪