式と証明（２）

質問

下の欄にある式と証明の続きです。
(1)
x＞0、y＞0のとき、16y/x+9x/y≧ｍが成立するような「最大の整数」ｍの値は
ｍ＝□□である。ただし、等号が成立するのは、y＝□xのときである。上の不等式を利用すると、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧ｎが成立するような最大の値は、ｎ=□であることがわかる。

(2)
(1)において9ｘ+16ｙ=1/ｘ+1/ｙが成立してるとする。この場合、ｘ=□、y=□のとき
1/ｘ+1/ｙは最小値 □をとる。

(1)
相加相乗平均を利用して、

16y/x+9x/y≧24≧ｍ　(等号成立はy=3/4xのとき)

が成り立ちますが、次に

(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)=9+16+24=49より、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49

となるのがわからないのです。

(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)を展開し、9+16+16y/x+9x/yの
16y/x+9x/yに24を代入したんですよね。
ですが、24というのは最小値（またはｍの最大の整数）であって、16y/x+9x/y≧24から
24以下の候補もいっぱいある中で、これを代入するのはどうしてですか？

等号成立がy=3/4xとなるのは16y/x+9x/y≧24のときだけではないのはどうしてですか？
なぜここでもいえるのかがわかりません。

(2)
等号成立なのですが、ここでも(1)と同じく、

(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49(等号成立はy=3/4xのとき)

となるのがナゾです。

(1/ｘ+1/ｙ)＾2のとき最小値は49だから
1/ｘ+1/ｙの最小値は7

となりますが、ここでx、yの値を求めるときに、「1/ｘ+1/ｙのとき」のx、yの値を求めるのに、
y=3/4xを9ｘ+16ｙ=1/ｘ+1/ｙに代入して値を求めるのはどうしてですか。

回答No.8

hinebot

#2です。

>＞この両辺に１６＋９をたすと とありますがどうして両辺にたすのですか？

#5さんも#7さんも同様の解説をされてますが、
「a>b ならば　a+c > b+c」☆
という性質を使っています。（等号つきでも同じ）
本問の場合、等号がついているので、☆の性質の等号つきである
「a≧b ならば a+c≧b+c」
を使っているわけです。等号つきの場合、さらに「ならば」の左右で等号成立条件も引き継がれています。つまり、
「a=b ならば　a+c=b+c」です。

で、今回の場合は、
a=(9x/y)+(16y/x), b=24, c=16+9
となります。
このとき、c>0 なので、右辺はそのままでも a+c > b　なら成り立ちます。
では、なぜ右辺にも足しているのか？
それは、a+c≧b がいえないからです。
どういうことかというと、a=b であっても、c>0のため、必ずa+c>a=b となり、 等号が成立しないのです。
なので、等号成立を保持するために、右辺にもc=16+9 を足す訳です。

回答No.7

fushigichan

＃１です。補足読ませていただきました。

＞なぜ「一番きつい条件」を代入する必要があるのかよくわかりません。
詳しく教えていただけますか。

これは
＞ですが、24というのは最小値（またはｍの最大の整数）であって、16y/x+9x/y≧24から
24以下の候補もいっぱいある中で、これを代入するのはどうしてですか？

というJEANS-Pさんの疑問のところから、
別に２４じゃなくても、２３でも５でも１１でもいいじゃないか。
なんで２４なの？？という疑問を抱いておられると思いましたので
16y/x+9x/yは確かに、２３でも５でも１１以上になりますが、
16y/x+9x/yがとりうる値の中で、最も小さいもの、が２４になるので
２４を代入します、という意味です。
早くいえば
16y/x+9x/y≧（16y/x+9x/yの最小値）
　　　　　　　　↑
　　　　　　　　２４
ということなんですが、趣旨が分かりにくくてすみません。

＃２への補足
＞2乗をはずすだけで1/x+1/yの最小値をも求められるというのは不思議な感じはしますが・・・

これは＃５さんのご説明のとおり、
x>0,y>0ですから
(1/x)+(1/y)>0です。
このときは、２乗したものの大小はそのまま
{(1/x)+(1/y)}^2≧49
はすなわち
(1/x)+(1/y)≧7
とすることができます。

＞9x+16y = 7だけではｘ、yの値は求めることはできませんが、等号成立条件を代入してもいいのか？
という不安が残ります。

9x+16y=7
となるのは、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49
において、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)＝４９（左辺＝４９）となるときですよね。
これは、等号成立するときですので
等号成立条件を代入すればいいことになります。

＃３への補足
＞16y/x+9x/y≧24
この両辺に１６＋９をたすと
16+9+16y/x+9x/y≧16+9+24=49
と、なるので
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)＝16+9+16y/x+9x/y≧49
となります。

＞この両辺に１６＋９をたすと とありますがどうして両辺にたすのですか？
たして(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)＝16+9+16y/x+9x/y≧49 になるというのがわかりません。

これは、もともと
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49
を言いたいわけですね。
左辺を展開すれば
(9x)(1/x)+(9x)(1/y)+(16y)(1/x)+(16y)(1/y)
=9+(9x/y)+(16y/x)+16・・・（☆）
の形になりますね。

(9x/y)+(16y/x)≧24・・・（★）
ということが使えますので、
（☆）の形に持っていくために、
（★）の両辺に９＋１６を加えたのですね。

ご参考になればうれしいです。
もしまた不明な点があれば、補足してくださいね。

回答No.6

hinebot

#2(#4)です。

#5さんが補足について詳しく説明してくれてますので一言だけ。

#2の補足の最後の部分
>9x+16y = 7だけではｘ、yの値は求めることはできませんが、等号成立条件を代入してもいいのか？
>等号成立条件を代入する意味を教えて下さい。
についてですが、
ごく簡単にいうと、等号が成立するときのx,yの値を求めたいから等号成立条件を使う（代入してよい）わけです。
詳しくは、#5さんの解説のとおりです。

回答No.5

eatern27

#3です。補足について。

・#1さんへの補足
＞なぜ「一番きつい条件」を代入する必要があるのかよくわかりません。
#1さんの主旨が分からないので、私なりの見解を。
「一番きつい条件」を代入した、と考えるよりは、y/x+9x/yの最小値を代入した、と考える方が分かりやすいかなぁ?
#4さんのご回答に、
＞左辺の最小値＝右辺の最大値　
とあります。左辺の最小値を求めたいから、16y/x+9x/yの最小値を代入したわけです。

・#2さんへの補足
＞2乗をはずすだけで1/x+1/yの最小値をも求められるというのは不思議な感じはしますが・・・
不思議に思って、おかしくありません。なぜなら、
この方法がいつでもできるとは限りません。
式で表せば、
「a^2≧b^2 ならば、a≧b である」・・・☆
が成り立つとはかぎりません。(この問題の場合は、a=1/x+1/y,b=7です)
例えば、(-2)^2≧1^2 ですが、-2≧1は成り立ちません。

じゃぁ、どんな時に☆が言えるかというと、a≧0,b≧0のときなんです。これは、y=x^2のグラフのx≧0の部分を思い浮かべれば、納得できると思います。つまり、
y=x^2 (x≧0) のグラフ上に2点をとったら、ｙ座標が大きい方の点はｘ座標も大きいですね?

で、もとの問題に戻ると、x>0,y>0なので、
a=1/x+1/y>0 かつ、b=7>0なので、☆の不等式が使えます。

＞等号成立条件を代入する意味を教えて下さい。
等号成立条件を代入した、というよりは、
9x+16y=7とy=3/4x(等号成立条件)を連立した、という感じです。(この連立方程式を解くために代入したんです)

y=3/4xなら、等号が成立するのは分かりますね?
逆に等号が成立しているなら、y=3/4xが成り立つことも言えます。

ここで、1/x+1/y=7の時のx,yの値を求めたいのですが、
1/x+1/y=9ｘ+16yなので、
(1/x+1/y)(9ｘ+16y)=49ですね。
と、いうことは、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49
の等号が成立しています。なので、y=3/4x (等号成立条件)が成り立ちます。
y=3/4xを満たし、かつ、9x+16y=7を満たすx、yを求めればいいので、この2つの式を連立すればＯＫです。

#3への補足
＞「y=3/4xのとき、等号が成立する式(不等式)が16y/x+9x/y≧24以外にもあるのは何故？」
という意味だったんですか?
理由は、
例えば、4y≧3xという不等式の等号成立条件もy=3/4xだから。
(つまり、16y/x+9x/y≧24以外にもあるから、としかいいようがありません)
です。
「x=1を解に持つ方程式がx-1=0以外にもあるのは何故？」
と、聞いているような感じです。

＞この両辺に１６＋９をたすと とありますがどうして両辺にたすのですか？
まず、この部分では、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧ｎ
を満たす最大のｎを求めることが目的です。

(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)を展開すると、
16+9+16y/x+9x/yになります。これの、
16+9+「16y/x+9x/y」
の部分は直前に解いたものと全く同じ形をしています。
直前に解いた結果として、
16y/x+9x/y≧24・・・◇
が求まっています。ここから、
16+9+16y/x+9x/y≧○・・・△
の形にもっていきたいのですが、◇と△の左辺を見比べると、
16+9を足したか足してないかの差です。つまり、◇の式に16+9を足すと、左辺は△の左辺と同じ形になります。
ですので、◇の両辺に16+9をを足して、
16+9+16y/x+9x/y≧16+9+24＝49
が求まります。

#3もですが、長々と失礼しました。

回答No.4

hinebot

#2です。
悩まれているのは、ちょっとした言葉の問題かも知れませんね。

例えば、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧ｎ
という式において
左辺の最小値＝右辺の最大値　となります。（よく考えてみてくださいね）
このことが理解できれば、私や他の方の解説によって
「24以下の候補」でなく「24」を代入している理由がわかると思います。

お礼

ありがとうございます。
そうなんですね、ちょっとした言葉の違いで問題の趣旨は？？？となったり、
本当に悩んでしまいます。
数学的感が全然身についてないのが一目瞭然ですね。
左辺の最小値＝右辺の最大値という言葉はおおーって思いました。
とくに前半の問題ではこのキーワードだけでも解けそうですね。

補足

数学的感→×

数学的勘→○

ですね。失礼しました。

回答No.3

eatern27

(1)
JEANS-Pさんが不思議に思うのも当然で、
＞(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)＝9+16+24=49より、
という表記はおかしいです。(一つ目の等号の辺りが)
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧9+16+24=49より、
と書く方が正確でしょう。

16y/x+9x/y≧24
この両辺に１６＋９をたすと
16+9+16y/x+9x/y≧16+9+24=49
と、なるので、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)＝16+9+16y/x+9x/y≧49
となります。

＞等号成立がy=3/4xとなるのは16y/x+9x/y≧24のときだけではないのはどうしてですか？
意味が分かりません。文字どおりに受け取れば、

「y=3/4xのとき、等号が成立する式(不等式)が16y/x+9x/y≧24以外にもあるのは何故？」
みたいな意味になると思いますが、余りにも明らかすぎるので、そんな事は聞いていないと思います。

もしかしたら、
「16y/x+9x/y≧24の等号が成立するのがy=3/4xの時であるのは何故？」

という質問でしょうか？

相加相乗平均：A+B≧2√AB の等号が成立するのはA=Bの時です。したがって、
等号の成立条件は
16y/x=9x/y⇔y^2=9/16x^2
y>0,x>0なので、y=3/4xです。

別の事を意味しているなら、補足をお願いします。

＞等号成立なのですが、ここでも(1)と同じく、
＞(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49(等号成立はy=3/4xのとき)
＞となるのがナゾです。
何を聞いているのかよくわかりませんが、
「(1)において」とあるので、(1)での議論がそのまま適用されます。

＞ここでx、yの値を求めるときに、「1/ｘ+1/ｙのとき」のx、yの値を求めるのに、
というよりは、「1/x+1/yが最小」の時のx、yを求める問題ですね。

9x+6y=1/x+1/yだから、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49
に代入して
(1/ｘ+1/ｙ)^2≧49

(a,b>0の時、a^2>b^2⇔a>bとなるので)

(1/ｘ+1/ｙ)^2≧49=7^2・・・☆
⇔(1/ｘ+1/ｙ)≧7
よって、1/x+1/yの最小値は7です。

このとき、☆の等号が成立しているので、y=3/4xが成り立ちます。
1/x+1/y=7に代入して、
1/x+4/3x=7 より、x=1/3
この時、y=3/4*x=1/4
∴(x,y)=(1/3,1/4)
(これは、9ｘ+16ｙ=1/ｘ+1/ｙを満たす)

という感じでいかがでしょうか？

補足

ありがとうございます。

＞「y=3/4xのとき、等号が成立する式(不等式)が16y/x+9x/y≧24以外にもあるのは何故？」
みたいな意味になると思いますが、

いいえ、おっしゃるとおりなんです。私の数学的感覚は人から見れば「なんでこんなところで？」
というものが多いんです。
ややこしい言い方をしてしまったようですみません。展開したときの形を忘れて、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)という見た目の形にまどわされていたようです。

＞16y/x+9x/y≧24
この両辺に１６＋９をたすと
16+9+16y/x+9x/y≧16+9+24=49
と、なるので
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)＝16+9+16y/x+9x/y≧49
となります。

この両辺に１６＋９をたすと とありますがどうして両辺にたすのですか？
たして(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)＝16+9+16y/x+9x/y≧49 になるというのがわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

hinebot

(1)
>ですが、24というのは最小値（またはｍの最大の整数）で>あって、16y/x+9x/y≧24から
>24以下の候補もいっぱいある中で、これを代入するのはど>うしてですか？

問題をもう一度みてみましょう。
「(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧ｎが成立するような最大の値は、ｎ=□である」
つまり、ｎの最大値を求めたいわけです。
展開結果の　9+16+16y/x+9x/yのうち、9+16=25 は定数ですから、残り 16y/x+9x/y の大小がキーになります。
16y/x+9x/y≧24≧ｍ から、16y/x+9x/yの最小値は24です。よって、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)=9+16+16y/x+9x/y は
16y/x+9x/y = 24のとき最小値 9+16+24=49　をとるわけですね。これは裏を返せば、x,yがどんな値であろうとも
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49　
が成り立つわけですから、nの最大値は49 になるわけです。

次に等号成立条件についてですが、先にいったとおり
9+16+16y/x+9x/y　の9+16の部分は定数なので式の値は
16y/x+9x/y の値によって決まります。
よって、等号がなりたつのは、16y/x+9x/y=24のとき、すなわち、y=3/4xのときとなるのです。

(2)
等号成立条件については、上記の通りですね。
9ｘ+16ｙ=1/ｘ+1/ｙ　が成立しているという条件なので
これを代入して
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)=(1/x+1/y)^2≧49
より、1/x+1/y の最小値は7
というのはOKですね。

>ここでx、yの値を求めるときに、「1/ｘ+1/ｙのとき」のx、yの値を求めるのに、
>y=3/4xを9ｘ+16ｙ=1/ｘ+1/ｙに代入して値を求めるのはどうしてですか。
1/x+1/y = 7 のとき、つまり等号が成立しているときのx,yを求めるわけですね。
x,yが分母に来てますので、この式を使うのは計算が面倒です。そこで、条件である9ｘ+16ｙ=1/ｘ+1/ｙを利用するわけです。
1/x+1/y = 7 ということは、9x+16y = 7 となるので
y=3/4x (等号成立条件）を代入して文字を減らします。
9x+16*(3/4x) = 7
21x = 7 ∴x= 1/3 　y=1/4
となりますね。
別に、1/x+1/y =7 に y=3/4x を代入しても構いません。
この場合、
1/x + 1/(3/4x) = 1/x + 4/(3x) = 7
7/(3x) = 7 すなわち、3x=1 より、x= 1/3
となります。

※こんな説明で分かっていただけますか？

補足

ありがとうございます。
まだあやふやな部分が残ってますので教えていただけますか？

＞展開結果の　9+16+16y/x+9x/yのうち、9+16=25 は定数ですから、残り 16y/x+9x/y の大小がキーになります。

展開したことにより、定数がでてきて、残りの16y/x+9x/y の大小が鍵になるのは当然ですね。
まさにもともとの(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)という形ばかりにとらわれて、このことをすっかり忘れてました。

＞(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)=(1/x+1/y)^2≧49
より、1/x+1/y の最小値は7
というのはOKですね。

なんとなくわかってるみたいな感じです。
2乗をはずすだけで1/x+1/yの最小値をも求められるというのは不思議な感じはしますが・・・

＞1/x+1/y = 7 ということは、9x+16y = 7 となるので
y=3/4x (等号成立条件）を代入して文字を減らします。
9x+16*(3/4x) = 7
21x = 7 ∴x= 1/3 　y=1/4

9x+16y = 7だけではｘ、yの値は求めることはできませんが、等号成立条件を代入してもいいのか？
という不安が残ります。
普段問題を解いていて、ふといきづまったときに、その辺にある数値を代入したら
なんかしらん正解だったという偶然を何度か経験してますが、たいていは確かな根拠がないため、
いつも不安なことが多いのです。　
等号成立条件を代入する意味を教えて下さい。

よろしくお願いします。

回答No.1

fushigichan

JEANS-Pさん、こんにちは。

＞16y/x+9x/y≧24≧ｍ　(等号成立はy=3/4xのとき)

これはいいんですよね？
相加平均・相乗平均から
(16y/x)+(9x/y)≧2√(16y/x)*(9x/y)=2√4^2*3^2=24
となるので
(16y/x)+(9x/y)≧２４
等号は(16y/x)=(9x/y)のとき、すなわち16y^2=9x^2ですが
条件からx>0,y>0より4y=3xのとき、y=(3/4)xのとき、となりますね。

つまり、２４以上になる、ということが分かります。
ｍとしてｍ２３，２２，２１とかすべて入りますが、その中で一番大きいのが２４ですね。
「２４以上」というのは、一番きつい条件なんですね。

＞(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)=9+16+24=49より、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49
となるのがわからないのです。
＞(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)を展開し、9+16+16y/x+9x/yの
16y/x+9x/yに24を代入したんですよね。

そうですね。
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)を展開して、
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)=9+(9x/y)+(16y/x)+16
ですが、上のことから
(9x/y)+(16y/x)≧２４ということが分かっていますから
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)=9+(9x/y)+(16y/x)+16≧9+24+16=29
となるので
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧４９がいえますね。

＞24以下の候補もいっぱいある中で、これを代入するのはどうしてですか？

２４が一番きつい条件だからです。
たとえば「酒を飲める」という条件を「２０歳以上は酒を飲める」と言いますが
「１６歳以上は酒を飲める」とは言わないですね。
大人は２０歳以上の人は、当然１６歳以上なんですが
この場合「２０歳以上」という条件のほうがきついですので
きついほうの条件で表します。

＞等号成立がy=3/4xとなるのは16y/x+9x/y≧24のときだけではないのはどうしてですか？

等号成立は、一番最初の相加平均・相乗平均のイコールのときなので
y=(3/4)xのとき、としましたね。
ですから
16y/x+9x/y=24のときなんですね。

＞(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49(等号成立はy=3/4xのとき)

これは、上のことから、いいかと思います。

＞ここでx、yの値を求めるときに、「1/ｘ+1/ｙのとき」のx、yの値を求めるのに、
y=3/4xを9ｘ+16ｙ=1/ｘ+1/ｙに代入して値を求めるのはどうしてですか。

これらのx,yは同じだからです。
(9ｘ+16ｙ)(1/ｘ+1/ｙ)≧49この式の、前半のx,yと後半のx,yは全く同じ数字が入ります。
ですから、等号成立のときのx,yの値は
y=(3/4)xという条件ですから、
(2)ではさらに、
＞9ｘ+16ｙ=1/ｘ+1/ｙが成立してるとする。

という条件がつきましたので、ここに代入すればいいですね。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください！

補足

ありがとうございます。
なぜ「一番きつい条件」を代入する必要があるのかよくわかりません。
詳しく教えていただけますか。

よろしくお願いします。