行列、固有値

質問

2×2の行列Z=aI+bJを考える。
ただし、I=｜1 0｜および、J=｜0 1｜である。
　　　　　　　｜0 1｜　　　　　｜-1 0｜　　
また、aとbは実数であり、aとbが同時に0になることはないとする。
（１）Z[t]を計算し、a,b,I,Jで表せ。ここで添え字[t]は行列の転置を表す。
これはZ=（a b）Z[t]=（a -b）であるので
　　　　　　（-b a） 　　　（b a）
Z[t]＝aI-bJでよいでしょうか？？

（２）Zの逆行列を求め、a,b,I,Jで表しなさい。
Z^-1＝1/(a^2+b^2)(a -b) なので
　　　　　　　　　　　　(b a)
　　　1/(a^2+b^2)*（aI-bJ）でよいでしょうか？？
（３）JとZの固有値を求めなさい。
J=(0 1)なので|A-xE|=0より|-x 1| ＝0
(-1 0) 　　　　　　　　　　　　|-1 -x|
　従ってx^2+1=0 x^2=-1 x=±i　なので　Jの固有値は　i と　-i
　でよいでしょうか？？

Z=(a b)　|a-x b |＝0　(a-x)^2+b^2=0　ここから、因数分解できないためもとめることができません。
(-b a) 　|-b a-x|

長々と書いてしまいすみません。よろしくお願いします。

回答No.2

hugen

＞ Jの固有値は　i と　-i でよいでしょうか？？

ここまで、OK

＞　(a-x)^2+b^2=0　
(a-x)^2-(-b^2)=0　
(a-x)^2-(i^2b^2)=0　
(a-x)^2-(ib)^2=0　
-----------------------
(a-x)^2+b^2=0　
(a-x)^2＝-b^2
a-x＝±√(-b^2)
a-x＝±bi　　でもよい。

お礼

返信ありがとうございます。
ただ移項して、xを求める方法もありましたね。。
ありがとうございました！

回答No.1

koko_u_

J の固有値を λ 固有ベクトルを u とすると

Ju = λu

したがって、 Zu = (aI + bJ)u = (a + λb)u

すなわち a + λb は Z の固有値で固有ベクトルは u

もちろん、det(Z - xI) = 0 を普通に解くことも容易い。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど・・・
そのようなやり方もあるのですね！