2e^(r/2)の微分

質問

今大学の宿題で手こずっています。

2e^(r/2)の微分がどうしてe^(r/2)drになるのかわかりません。
どうかわかる方ヘルプお願いします。

回答No.2

incd · ベストアンサー

>> d/drが1/2ということでしょうか？
d(r/2)/drが1/2になります。

チェイン・ルールとか合成関数の微分などと呼ばれているものです。
e^r の微分が e^r になることは知っているのでしょう？
でもこの問題の場合、"r"の所に"r/2"が代わりに入っています。
そういう場合は"r/2"を一つの文字と思って微分して（つまりe^(r/2)になる）、さらに r/2 をrで微分したもの（つまり 1/2）をかけます。

もう少しフォーマルに書くと、
f( g(x) )' = f' * g'.

回答No.3

jaspachate

＞ということは、d/drが1/2ということでしょうか？

すでに補足していただいてますが、あらためて書くと、
今、u = r/2 とします。
f(r) = 2e^(r/2) = 2e^u
e^u の r についての微分は、
d(e^u)/dr = (du/dr)(d(e^u)/du)
これは合成関数の微分の公式、
df(u)/dx = (du/dx)(df(u)/du)、u=g(x)
を使っています。

さて、
du/dr = d(r/2)/dr = 1/2、　および、
d(e^u)/du = e^u
は通常の微分で、これを代入すれば、
d(e^u)/dr = (1/2)e^u
∴ d(e^u) = (1/2)e^u dr
となり、u=r/2 を代入すれば答えになります。

合成関数の微分は微分の定義から、
df(g(x))/dx = lim[h→0] ( f(g(x+h)) - f(g(x)) ) / h
= lim[h→0] { (g(x+h)-g(x))/h }・{ (f(g(x+h))-f(g(x)))/(g(x+h)-g(x)) }
= lim[h→0] { (g(x+h)-g(x))/h }・lim[z→u]{ (f(z)-f(u))/(z-u) }
= { dg(x)/dx }・{ df(u)/du }
（　ただし、u=g(x)、z=g(x+h) ）
と証明されます。
これは非常に使い手のある公式なので、活用してください。

お礼

納得のゆく丁寧な説明をありがとうございました。

回答No.1

jaspachate

f(r) = 2e^(r/2)
df(r)/dr = d(r/2)/dr・2e^(r/2) = e^(r/2)
∴ df(r) = e^(r/2) dr
普通に微分しただけですね。

お礼

返答ありがとうございます。
なんとなく内容がわかってきました。
ということは、d/drが1/2ということでしょうか？