R^4の微分構造について

質問

ユークリッド空間R^nのなかでn≠4 のときは微分構造はただ一つであり、n=4 の場合だけ異なる微分構造が非可算個存在することはよく知られていますが、これはどのようにしたら示せるのでしょうか。また異なる微分構造が存在すると物理では困るのではないでしょうか。時空は４次元とされています(計量はR^4の普通の計量ではないが、位相的にはR^4)。無数にある微分構造のうちどれを選べば良いのか分からないし、選んだ微分構造が現実の世界と対応していると言う保証はどこにあるのでしょう。しかし一方ではこれを逆手にとった理論をつくることも考えられます。例えば量子力学のmany world interpretation で異なった世界をR^4の異なった微分構造に対応させるような理論はできないでしょうか。

回答No.2

nucomewl

回答者が質問してしまってますが、
非アーベルゲージ場は、統一理論のために量子論的にゲージ場を考えるとでてくるのだと思っていました。

ただ、このことはこの世の中がこれほど複雑な構造を持っていることと関係しているのかもしれませんね。
(すみません中身が何もなくて。)

回答No.1

nucomewl

1986年のフィールズ賞論文をここで聞くのは。。
1982年の Simon K. Donaldson の論文にあるんじゃないでしょうか。

よくは知らないのですが、そもそもが電磁場理論からでたインスタントン理論の応用らしいですよ。

世界ごとに微分構造が変わるのは多世界解釈とは絡まない気がしますが、よく分かりません。発見したら論文を書いてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。Donaldson理論では非アーベルゲージ場が使われるので、「電磁場からでた」とは言えないのではないでしょうか。
　４次元は数学的には特異な次元です。これは物理の方には影響しないのでしょうか。