eの偏微分

質問

e^(x^2)+2xy-(y^2)をｘとｙで二階微分します。一階微分の
ｆｘ＝（２ｘ＋２ｙ）e^(x^2)+2xy-(y^2)まではいいのですが、
ｆｘｘ＝２｛２（（ｘ＋ｙ）＾２）＋１｝e^(x^2)+2xy-(y^2)の意味がまったくわかりません。
＋１って何なのですか？同じことをもう一回するのだから、
｛４（ｘ＋ｙ）＾２｝e^(x^2)+2xy-(y^2)にはならないのですか？

回答No.1

noname#99908 · ベストアンサー

答えは正しいと思いますよ。

ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）の微分は
ｆ’（ｘ）・ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）・ｇ’（ｘ）となりますよね。

ですから、eの乗数が合成関数になっているので、
ｆｘｘ＝２｛２（（ｘ＋ｙ）＾２）＋１｝e^(x^2)+2xy-(y^2)となります。
ここで、２｛２（（ｘ＋ｙ）＾２）＋１｝は
２＋(2x+2y)^2を展開してまとめたものです。

ですので、ｘに関する２階微分は正しいですね。

回答No.3

Mr_Holland

関数の積の微分の問題だと思います。（合成関数の微分は理解されているようですね。）
　積の微分は次のように分けて微分したものを足し合わせなければなりません。
　　{f(x)・g(x)}'＝f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86#.E4.B8.80.E8.88.AC.E5.85.AC.E5.BC.8F

　　fx＝2(x+y) e^{x^2+2xy-y^2}
　このfxの微分の場合は、f(x)=2(x+y),g(x)=e^{x^2+2xy-y^2}とおいて積分してみてください。次のようになるはずです。
　　fx＝2×e^{x^2+2xy-y^2}＋2(x+y)×2(x+y) e^{x^2+2xy-y^2}
　　　＝{2+4(x+y)^2} e^{x^2+2xy-y^2}
　　　＝2{2(x+y)^2+1} e^{x^2+2xy-y^2}

　ちなみに、指数関数の中身（eの肩に乗っているもの）を表すには、すべてを括弧で括ってくださいね。
　「e^(x^2)+2xy-(y^2)」の表記では、eの肩に乗っているものはx^2だけに見えてしまいます。

お礼

なるほど、そのように書かないと確かに混同しますね。詳しい説明、ありがとうございました！！

回答No.2

noname#99908

No1です。補足ですが、
この場合、f(x)＝（２ｘ＋２ｙ）
ｇ（ｘ）＝e^{(x^2)+2xy-(y^2)}です。

あと、e^{f(x)}の微分は
f'(x)・e^{f(x)}です。

お礼

わかりやすい説明、ありがとうございます！目からうろこです（＾＾、