確率収束について

質問

{X[n]}がXへ,{Y[n]}がYへ確率収束するならば、
{X[n]+Y[n]}はX+Yに確率収束するのをどのように示したらいいのかわかりません。
どなたか教えてください。
あと{X[n]}がXへ法則収束しても、一般にXへ確率収束しないということはどうしたらわかりますか？

回答No.2

eltaliese

教科書に同じ問題が出ているので解答だけ載せときます。

Ｘ_n→Ｘ、Ｙ_n→Ｙより
P(|Ｘ_n－Ｘ|≧ε/2）→０　，P(|Y_n－Y|≧ε/2）→０
一方
{|(X_n+Y_n)-(X+Y)|≧ε}⊂{|X_n-X|+|Y_n-Y|≧ε}
⊂{|X_n-X|≧ε/2}+{|Y_n-Y|≧ε/2}
よって
　０≦P{|(X_n+Y_n)-(X+Y)|≧ε}≦P{|X_n-X|≧ε/2}+P{|Y_n-Y|≧ε/2}→０
以上により(略）

回答No.1

arrysthmia

概収束、確率収束、法則収束の定義を教科書で確認し、
自分の言葉で、補足に書いてみて下さい。
それができれば、後は単なる式いじりだけですが…