ちょっとしつもんでーす！

質問

文系なのになぜか数学を勉強するはめになってしまった者です。今自分で微分積分学を勉強しています！…が、参考書の最初の問題からいきなりわからなくてちょっと諦めモード。だけど目標のためにがんばります！
ゴタクはここら辺にしておきまして、無限級数の問題
Σ1/[{log(n+1)}^(n+1)]
の収束発散を判定せよ。というので、比較判定法・積分判定法・ダランベールの判定法・コーシーの判定法・ガウスの判定法のどれを使えばよいのか皆目検討もつかない状態です（泣）全て試みたもののあえなく撃沈…解説を読んでもよくわからず終いでして。
ほかの方法があるんですかね～。それとも僕のやり方がおかしいのかな
だれかヒントくださーい

回答No.5

eatern27 · ベストアンサー

a_n={log(n+1)}^(n+1)
b_n={log3}^(n+1)
とすると、
n≧2で
0<b_n≦a_n
が成り立つので、
1/a_n≦1/b_n（n≧2)
(等号成立はn=2)
が成り立つ。

0＜Σ1/[{log(n+1)}^(n+1)]
＝1/(log2)^2+Σ[n=2 to ∞]1/[{log(n+1)}^(n+1)]
＝1/(log2)^2+Σ[n=2 to ∞]1/a_n
＜1/(log2)^2+Σ[n=2 to ∞]1/b_n

ここで、
Σ[n=2 to ∞]1/b_n
=Σ[n=2 to ∞](1/log3)^(n+1)
={1/(log3)^3}/{1-(1/log3)}
=1/{(log3)^3-(log3)^2}
よって、Σ[n=2 to ∞]1/b_nは収束する。

0＜Σ1/[{log(n+1)}^(n+1)]＜1/(log2)^2+Σ[n=2 to ∞]1/b_n=1/(log2)^2+1/{(log3)^3-(log3)^2}
であるから、
Σ1/[{log(n+1)}^(n+1)]も収束する。

いくつに収束するのかは求まりませんでしたが・・・・。
＞収束発散を判定せよ、
ということなので、いくつに収束するのかは求めなくてもいいのかなぁ、と都合のいい事を考えたのですが、
解説ではいくつに収束するか求めていますか?
収束するか発散するかだけでよければ、これでいいと思いますが、間違えてるかもしれません。

参考までに
Σ1/[{log(n+1)}^(n+1)] は
３．２４ぐらいに収束するみたいですよ。

回答No.6

eatern27

＃5です。
よく考えると、(ちょっとしか考えてませんが）

いくつに収束するか求めなくていいはずないですね。

＃5は忘れてください。

回答No.4

mmky

＃１のmmkyです。追伸まで
#2のdirecthiroさんに間違いを指摘されましたね。
#2のdirecthiroさんありがとう。
[収束したとしても０にはならないでしょうね。]
その通りですね。
それから#２のLargo_さんのご指摘の通りで、
lim(n→∞){1/[{log(n+1)}^(n+1)}→0
Sn>Sn+1 ですので
lim(n→∞)Σ1/[{log(n+1)}^(n+1)]→δ
ということですね。

log(n+1)=x, と置けば, (n+1)=e＾x , d(n+1)=e＾xdx
δ＜∫(2→∞){log(n+1)}^-(n+1)}d(n+1)=∫(log2→∞){x^-(e＾x)}e＾xdx
x→∞{x^-(e＾x)}e＾x →0 を考慮すれば、
＜Σkn+1(log2)＾-(n+1)　
になりそうですね。
参考程度まで

回答No.3

Largo_sp

これ、どれでも判定できますよ....#1の方のいわれたのが
比較判定法ですね...
比較判定法は...

0<1/[{log(n+1)}^(n+1)]<1/(2^n)等で、
目的の数より大きいものが収束すれば、それより小さい和は収束する
ということを使うんですよね...
積分判定法は
∫1/[{log(n+1)}^(n+1)]dn で定積分できるかで判定します。
ここまでは、高校の理系の人なら判る範囲だとおもいます。
私もここまでしか判りませんが...

回答No.2

directhiro

自分の悩みに対しての回答検索中、
通りすがりに目止まったので、、、。
ちょっとだけNo.1の方に突っ込みを(^^;)。No.1の方すみません。
一応、理系だったものですが、、。

Σ1/[{log(n+1)}^(n+1)] を考えると、
＝1/（log2)^2　＋　1/（log3)^3　＋　1/（log4)^4　＋　…
で、「和」をとってますので
収束したとしても０にはならないでしょうね。　

かなり現役から遠ざかっていまして、
現在こういうのはあまり得意ではありませんので、、。
現役の人におまかせです！！

どうも失礼しました。

回答No.1

mmky

参考程度に

無限級数の収束発散の判定の定義ですが、簡単には、
ｎ→∞　の時に値が確定できれば収束
ｎ→∞　の時に値が不定または±∞であれば発散ですよね。
そこで
Σ1/[{log(n+1)}^(n+1)] ですが
log(n+1)は、nを大きくすると少しずつ大きくなる数をとりますね。
簡単のために10を底（普通はeが底ですが。）と考えますと、ｎを大きくしますとlog10=1, log100=2, log100000=5,log10＾100＝100・・・
だから非常にゆっくりですがn→∞、log(n+1)→∞　になります。
ところが、問題は{log(n+1)}^(n+1)ですからもっと早く∞ に近づくと考えられますね。だからlim(n→∞）Σ1/[{log(n+1)}^(n+1)] →0　になると考えられませんか。n→∞ で値が0に確定するのですから収束ですね。
以上の説明が論理的で説得力があれば正しいということです。
間違いであれば指摘があります。それが数学ではないでしょうか。

参考程度まで