コーシーの判定法の証明

質問

コーシーの判定法
正項級数ΣAnに対して n√An(n乗根) → r (n→∞)が存在する。
その時、
0 ≦ r < 1 ならば　収束
1 < r ≦ ∞ ならば　発散

上記を証明しているところなのですが、
0 ≦ r < 1 , 1 < r < ∞までは証明ができたのですが
r=∞の時ができません。どのように証明を進めればよいでしょうか？

回答No.1

naozou · ベストアンサー

rが∞ということは、数列のどこからか先は必ずある定数Ｍ>0よりも大きいはずです。

お礼

そのMを用いて (a_n)^n > M^nの形にすることで証明できました。
ありがとうございました。

回答No.2

yoikagari

級数Σ[n=1,∞]A_nが発散するのを証明する有効手段として
lim_[n→∞]A_n≠0を示すという手があります。
証明
もしΣ[n=1,∞]A_nが収束するのであれば
S_k=Σ[n=1,k]A_n,S=Σ[n=1,∞]A_nとおきますと
lim_[n→∞]A_n=lim_[n→∞]S_n-lim_[n→∞]S_(n-1)=S-S=0
となります
したがって、「Σ[n=1,∞]A_nが収束する⇒lim_[n→∞]A_n=0」がいえます。
よって対偶をとれば「lim_[n→∞]A_n≠0⇒Σ[n=1,∞]A_nは発散する」がいえます。

お礼

その定理を用いることでできました。ありがとうございました。