(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)の基本対称式での表し方

質問

対称式
(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)=a^n+a^(n-1)b+…+ab^(n-1)+b^n
を基本対称式a+bとabを用いて表すことを考えました。

色々と実験してみたところ
Σ{i=0 to n/2}(-1)^iC(n-i,i)(ab)^i(a+b)^(n-2i)
という形で表されるらしいことが分かりました。
ここで、C(n-i,i)は二項係数です。

しかし、どうにも証明ができません。
どなたが、証明の方法をご教授頂ければ幸いです。

回答No.1

gef00675 · ベストアンサー

P[n]=(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)とおくと、
P[n+2]=(a+b)P[n+1]-ab*P[n]
が成り立つので、結論の式が予想できているのであれば、この関係を使って数学的帰納法で確かめてみれば？

お礼

教えて頂いた等式を使って証明することができました。
途中、計算がとても面倒でしたが…。
どうもありがとうございました。