にゃんこ先生の自作問題、Σ[a≠b,b≠c,c≠a, a,b,c∈{1,2,3,…,n}]abc

質問

にゃんこ先生といいます。

a,b,c∈{1,2,3,…,n}
とします。

Σ[a≠b]ab
={Σ[k=1～n]k}^2 - Σ[k=1～n]k^2
={n(n+1)/2}^2 - n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(3n^2-n-2)/12

Σ[a<b]ab
=(1/2)Σ[a≠b]ab
=n(n+1)(3n^2-n-2)/24

Σ[a≦b]ab
=Σ[a<b]ab + Σ[a=b]ab
=n(n+1)(3n^2-n-2)/24 + n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(3n^2+7n+2)/24

ですが、
Σ[a≠b,b≠c,c≠a]abc
や
Σ[a<b<c]abc
や
Σ[a≦b≦c]abc
また、それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか？
にゃにかうまい考えがある気がするのですが、思いつきません。

回答No.1

faubourg · ベストアンサー

＞それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか？

m変数に拡張したものは、次のようになりました。

f(n,m)=Σ[a[1]≦a[2]≦…≦a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
f(n,m)=S(n+m,n).
(S(n,k)は第二種スターリング数)
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html

計算例：
f(n,10)
=(99*n^9+1485*n^8+6930*n^7+8778*n^6-8085*n^5-8195*n^4+11792*n^3
-2068*n^2-2288*n+768)*(n+10)!/(367873228800*(n-1)!)

g(n,m)=Σ[a[1]<a[2]<…<a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
g(n,m)
=(-1)^m*s(n+1,n-m+1)
=(-1)^m*Σ[j=0,m]Σ[i=0,j](-1)^i/(j!)*i^(j+m)*comb(j,i)*comb(j+n,j+m)*comb(n+1+m,m-j).
(s(n,k)は第一種スターリング数）
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3563977.html
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html

計算例：
g(n,10)
=(99*n^9-594*n^8-1386*n^7+6468*n^6+14091*n^5-12826*n^4-44132*n^3
-18392*n^2+14432*n+7680)*(n+1)!/(367873228800*(n-10)!).

h(n,m)=Σ[1≦i＜j≦m をみたす全てのi,jに対してa[i]≠a[j]](a[1]*a[2]*…*a[m])
とすると、
h(n,m)=(m!)*g(n,m).

お礼

ありがとうございます。

>f(n,m)=Σ[a[1]≦a[2]≦…≦a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
>f(n,m)=S(n+m,n).

x^k/(1-x)(1-2x)…(1-kx)=Σ[n=1,∞]S(n,k)x^n

1/(1-x)(1-2x)…(1-kx)=Σ[n=k,∞]S(n,k)x^(n-k)

(1+1x+1^2x^2+…)(1+2x+2^2x^2+…)…(1+kx+k^2x^2)=Σ[n=0,∞]S(n+k,k)x^n

から理解できました。もともとこの問題のきっかけは、次のようなゼータ関数を解析接続したときの公式でもっといろいろ考えられないかという悩みです。

ζ(-1)=1+2+3+…=-1/12
ζ(-2)=1^2+2^2+3^2+…=0
ζ(-3)=1^3+2^3+3^3+…=1/120
で、
a,b,c∈{1,2,3,…}
とするとき、
Σ[a≠b]ab
={Σ[k=1～∞]k}^2 - Σ[k=1～∞]k^2
=(-1/12)^2 - 0
=1/144

Σ[a<b]ab
=(1/2)Σ[a≠b]ab
=1/288

Σ[a≦b]ab
=Σ[a<b]ab + Σ[a=b]ab
=1/288
は成立するのでしょうか？

また、
a[1],a[2],…,a[m]∈{1,2,3,…}
とするとき、
Σ[a[1]≦a[2]≦…≦a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m])
や
Σ[a[1]<a[2]<…<a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m])
や
Σ[a[i]≠a[j]](a[1]*a[2]*…*a[m])
や
Σ[a[1]≦a[2]≦…](a[1]*a[2]*…)
や
Σ[a[1]<a[2]<…](a[1]*a[2]*…)
や
Σ[a[i]≠a[j]](a[1]*a[2]*…)
は求められるのでしょうか？