図形と極限の問題(大学入試レベル)

質問

どうしても解けない問題があって困っています。アドバイス、ご指導お願い致します！

【問題】
半径aで中心が点Ａの円、半径bで中心が点Ｂの円があって、この２円が点Ｃで接している。
その点Ｃにおける２円の共通接線上に、点Ｃからの距離hの点Ｐ(ＣＰ＝ｈ)がある。
点Ａと点Ｐ、点Ｂと点Ｐを結び、ＡＰと(中心Ａの)円の交点を点Ｑ、ＢＰと(中心Ｂの)円の交点を点Ｒとする。
このとき、ＱＲを求め、ｈ→０のときの極限ＱＲ/h^2を求めよ。

という問題ですが、ＱＲがうまく出せずに困っています。ＡＣとＢＣがＰＣと直交していることから面積を使って何か関係式を作れないものか色々試みましたが、出来そうで出来ませんでした。ＱＲが出せればh^2で割るだけなので、極限はでそうですが、、、。

勉強不足ですいません！どうかよろしくお願いします！

回答No.7

jaspachate · ベストアンサー

もうひとつ付け加えておくと、「ある点で微分可能な関数はその点で連続」で、「ある点で連続な関数は必ずしもその点での微分が存在するとは限らない（折れ線グラフなど）」。これは高校ではやりませんでしたか？
微分可能な関数は高校でもたくさん扱っているので、少なくとも微分や微分の定義を使うような問題では、微分可能な関数は連続としてかまいません。
xのべき関数(x^n)や指数関数、三角関数などの高校で扱う初等関数はすべて特定の点を除いては微分可能で連続です（例えば 1/x のx=0は除く）。

高校では関数の連続の定義そのものを題材にする出題以外は、基本的な関数の連続性は暗に仮定されている（明らかな不連続点を除いて）と考えてください。

ついでにいうと、この問題は微分の定義を使わなくとも極限値は簡単に求まります。
a{ 1 - a/√(a^2+h^2) }/h^2
= a{ (√(a^2+h^2) - a) / √(a^2+h^2) } / h^2
= a{ (a^2+h^2-a^2) / ( √(a^2+h^2)(√(a^2+h^2)+a) ) } / h^2
= a / ( √(a^2+h^2)(√(a^2+h^2)+a) )
→ a / (a・2a)
= 1/(2a)

しかし、
QR/h^2 = √{ (SC+TC)^2 + (QS-RT)^2 }/h^2
で、(SC+TC)^2/h^4 → 1/(2a) 等を使って、
QR/h^2 → √( 1/(2a) + 1/(2b) )　[ｈ→0]
を言うには、√関数の連続性を使わなければなりませんし、それにそもそも√(a^2+h^2) → a をすでに使っています。

またそれは、
( QR/h^2 )^2 → 1/(2a) + 1/(2b) [h→0]
から言うのと同じことです。結局は√{( QR/h^2 )^2} の連続性を使うことになるからです。

もし連続性を証明するのであれば次の連続関数の定義を使います。
「どのように小さいε(>0)についても、適当なδ(>0)があって|h|<δを満たす全てのhの値に対して次の関係、
| f(a+h) - f(a) | < ε
が成り立つ場合には、f(x)は x=a において連続である。このことを、
lim[h→0] f(a±h) = f(a)
と書く。」

従って、　| f(a+h) - f(a) | < ε を計算して、εを0に近づけても必ずこの不等式が成り立つような |h|<δ(ある値以下の範囲にとると言う意味）が存在するということを証明すれば、f(x)のx=aにおける連続性が言えます。
√関数では、f(x)=√xについてこれを証明すればいい訳です。

しかし、この問題はわざわざ√xの連続性を証明させる問題ではないと考えます。

補足

細かく丁寧な回答大変感謝しております。勉強になりました！
QR/h^2 → √( 1/(2a) + 1/(2b) )　[ｈ→0]
の部分も納得がいきました。
あの問題から連続まで勉強することになるとは、、やはり数学は奥が深くて面白いです。前々からε－δ論法は勉強しなければと思っていたので、今回改めて必要性を感じました。
このたびは本当にありがとうございました！

回答No.6

jaspachate

＞QR^2/h^4　→　QR/h^2
ではなく、
QR^2/h^4 → a (a>0) ならば　QR/h^2 → √a
ですね。
これは、
x→x0 で y=f(x)→y0=f(x0) ならば g(y)→g(y0)
を使っていて、連続関数しか扱わない高校では成立することを前提にしています。

実際、
QR^2/h^4　→　{ 1/(2a) + 1/(2b)　}^2
でも　F(f、g)={ f(h) + g(h) }^2 が h→0 で、f(h)→1/(2a)、g(h)→1/(2b) から F→{ f(0)+g(0) }^2 としています。

QR^2/h^4 → a (a>0) ならば　QR/h^2 → √a
では、
h→0 で x=f(h)→a ならば g(x)=√x → √a
ですね。
関数√xについて　x→a で √x→√a が存在することは自明ですが、ちゃんと証明するには、δ-ε論法を使い、それは大学で学びます。

回答No.5

handarin

極限に関して。
連続関数fに関して　lim[x→a]f(x)＝f(a)　が成り立ちます。
例えば3x,x^2,log(x),e^x、特に√xなんかはみんな連続関数なので
△→□のとき、√△→√□、log△→log□
なんかも言えるわけです。
（というかこれが連続であることの定義なので、実は循環論法なんですが・・・
高校のうちはあまり深く考えないほうがいいです。泥沼にはまります。）

お礼

lim[x→a]f(x)＝f(a)　ですね！知ってます！
なるほど、言われてみれば納得です。なんとなく理解はしているのですが、連続の部分ってなんか面倒のような曖昧なような感じ好きではありませんが、もっと深く勉強してみます！
ありがとうございます。

回答No.4

jaspachate

補助線を入れて直角三角形と相似比だけで解きます。

QからABに下ろした垂線の足を点S、RからABに下ろした垂線の足を点Tとおく。

QR^2 = (SC+TC)^2 + (QS-RT)^2 ----(1)

AP = √(a^2+h^2)、　BP = √(b^2+h^2)
SC = a - a^2/AP、　TC = b - b^2/BP
QS = ah/AP、　RT = bh/BP
これらを(1)に代入しh^4で割ると、

QR^2/h^4
= [ a{ 1 - a/√(a^2+h^2) }/h^2 + b{ 1 - b/√(b^2+h^2) }/h^2 ]^2
+ [ { a/√(a^2+h^2) - b/√(b^2+h^2) }/h ]^2

ここで微分の定義から、
a{ 1 - a/√(a^2+h^2) }/h^2
= {a/√(a^2+h^2)} ( √(a^2+h^2) - a )/h^2
→　{ 1 } (√(x))'|(x=a^2) [h→0]
= 1/(2a)
同様に、
b{ 1 - b/√(b^2+h^2) }/h^2
→ 1/(2b) [h→0]

また、
{ a/√(a^2+h^2) - b/√(b^2+h^2) }/h
= { a√(b^2+h^2) - b√(a^2+h^2) } / { h√(a^2+h^2)√(b^2+h^2) }
= ( a^2-b^2 )h / { √(a^2+h^2)√(b^2+h^2)( a√(b^2+h^2) + b√(a^2+h^2) ) }
→ 0 [h→0]

以上から、
QR/h^2 → 1/(2a) + 1/(2b)

補足

回答ありがとうございます！補助線ですか！目から鱗です。
汚い式でどうしたものかと思っていましたが、ここ数日のモヤモヤがすっきりしました。ありがとうございます。

最後に一つ、細かいことなのですが、１つ質問があります！
もしよければ教えてください。回答の最後で、h→0のとき、

QR^2/h^4　→　{ 1/(2a) + 1/(2b)　}^2　
よって、QR/h^2　→　1/(2a) + 1/(2b)　　となっているのですが、
間違いはないとわかっていますが、完全に納得しきれていません。

中学生でも分かる、ｘ^2=9 ならば ｘ=(+-)3
と同じように考えて、今回はQRもhも正なので「＋」として本問の答えが、1/(2a) + 1/(2b)
となっているのかなと勝手に解釈しましたが、
今回の回答のような「極限」の場合はどうなのでしょうか？
極限で、▲^2→■^2 ならば、必ず　▲→■　となるのでしょうか？

よく分かっていないため、上の記述も伝わりにくいかもしれませんが、教えていただけると幸いです。

要は、QR^2/h^4　→　QR/h^2　
というところです。よろしくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight

＞このとき、ＱＲを求め、ｈ→０のときの極限ＱＲ/h^2を求めよ。

この形から考えると、Ｃ(0、0)、Ｐ(0、h)として、ある関数：f(x)の第2次微分係数の幾何学的応用かと思ったんだが、f(x)がＱＲから特定できないので、そうでもないらしい。
しかし、問題を読む限りではＱＲが求まるようだが、質問者がどこかで転記ミスをしてるんだろうか？

補足

回答ありがとうございます。
自分でもやってみましたが、どうも上手くいきません。
この問題は、伝え聞いた問題ですので、明日もう一度教えてくれた人に確認してみます。分かり次第また補足いたします！

回答No.2

handarin

三平方の定理からＰＡ，ＰＢをだします。
△ＡＰＢに関する余弦定理からcos∠ＡＰＢがわかり、
△ＱＰＲに関して再度余弦定理からＱＲを求めます。
綺麗な式にはなりません。

お礼

ありがとうございます！なるほど、何故そのような簡単な手法(余弦定理の繰り返し)を気付かなかったのかお恥ずかしい限りです。やってみたら、やはり綺麗な式になりませんでした。その先が困ってしまいました、、、

回答No.1

owata-www

パッと思いつきませんが、平面座標におけば（A,B,Cをｘ軸上に置いたりして）解決しそうな気がします、計算はしていませんが

お礼

座標平面ではやっていませんでしたので、やってみます。ありがとうございます！