大学入試の数学です。何度考えても分かりません。。。どなたかおしえてくだ

質問

大学入試の数学です。何度考えても分かりません。。。どなたかおしえてください！

半径1の球上に点P(a,b,c)をとる。

（１）
a,b,cはa^2+b^2+c^2=1を満足することを示せ（5点）
（２）
点P(a,b,c)おける球の接線の方程式はax+by+cz=1であることを示せ。（35点）

回答No.2

Mr_Holland

（1）　点Pは原点Oを中心とする半径1の球上にあるので、OP=√(a^2+b^2+c^2)=1
　　　∴　a^2+b^2+c^2=1　　・・・・（1）

（2）　この問題は文を写し間違えていませんか？　（「接線」⇒「接平面」）
　　　　求める方程式は平面になっていますので、以下「接平面」の誤りとして考えます。

　　点Pにおける球の接平面は、ベクトルOPと垂直ですので、この球の接平面の法線ベクトルは　OP=(a,b,c) になります。
　　このことから、接平面は次のように置くことができます。
　　　　ax+by+cz=d　（d:定数）　　・・・・（2）

　　ここで、この接平面は、点P(a,b,c)を通りますので、これを式（2）に代入します。
　　　　a^2+b^2+c^2=d　・・・・・（3）

　　ところで、式（1）から a^2+b^2+c^2 =1ですので、式（3）のdは次のようになります。
　　　∴d=1

　　これを式（2）に代入して、点Pにおける球の接平面を次のようになります。
　　　∴ax+by+cz=1

お礼

分かりやすい回答ありがとうです。

回答No.1

f272

中心が原点で半径1の球上に点P(a,b,c)をとるんだよね。中心が原点でなかったら(1)も(2)も成り立ちません。
(1)
原点(0,0,0)と点P(a,b,c)の距離は球の半径に等しいということ。
(2)
その平面上の点(a,b,c)からその平面上の任意の点(x,y,z)に向かうベクトルは(x-a,y-b,z-c)で，
原点から点Pに向かうベクトル(a,b,c)と必ず直交するから，それらの内積が0になります。

お礼

すいません問題文を写し間違えてました＞＜
色々ごめんなさい