線形代数の問題について

質問

線形代数の問題について

次のシステムを考える

x(t)= Ax(t)+ bu(t)　　状態方程式
(xに上点あり)
y(t)=cx(t) 　　　　　　出力方程式
A=[1 0 0 0;0 -1 0 1;0 0 -1 0;2 0 -1 -1]
b[-1 1 0 -1](の転置行列)
c=[1 -1 1 -1]

1　im Mcの基底ベクトルv1 v2を求めよ

2　ベクトルv3 v4 をv1 v2 v3 v4 がR^4 の基底ベクトルとなるように定めよ

3　T＝[v1 v2 v3 v4]とおく。状態方程式と出力方程式はそれぞれどのような式に変換されるか。

4　システムの伝達関数を求めよ

ちなみに、
Mc＝[-1 -1 -1 -1;1 -2 1 -2;0 0 0 0;-1 -1 -1 -1]を変形して
→[1 0 1 0;0 1 0 1;0 0 0 0;0 0 0 0]となり、rankMc=2 というところまでは分かってます。

一題ずつでも構いませんので、途中の計算法も含め教えてください。
宜しくお願いします

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

Mc の定義がわかれば、
１～３ はシステムと直接の関係は無く、
Mc の成分から順に計算してゆくだけ。

まず、A, b の値から定義に基づいて
Mc = [
　-1　　-1　　-1　　-1　　
　 1　　-2　　 1　　-2　　
　 0　　 0　　 0　　 0　　
　-1　　-1　　-1　　-1
]
と、その階数 rank Mc = 2 を計算した
とこまではよいとして、

１.
Mc の列ベクトルの中から、一次独立なものを
rank Mc 個選び出すことは、この Mc の場合
特に難しくはないはず。
第一列と第二列を挙げるのが普通かな。
(もちろん、他のものでもよい。)

２.
v1～v4 が一次独立になるような V3, V4 も
特に困難無く見つかると思うが…
例えば、
v1 = [ -1, 1, 0, -1 ] の転置
v2 = [ -1, 2, 0, -1 ] の転置
なら、
v3 = [ 0, 0, 1, 0 ] の転置
v4 = [ 0, 0, 0, 1 ] の転置
とか。(もちろん、他のものでもよい。)

途中の計算法と言われても、ちょっと困るが、
v1, v2 の成分を眺めてれば、勘で普通は見つかる。

３.
x を、基底 { v1, v2, v3, v4 } の上に成分表示
すればよいのだから、その成分を z1, z2, z3, z4 と置いて、
x = T z　ただし、z は [z1, z2, z3, z4] の転置。

この変換を、状態方程式と出力方程式に施すと、
dx/dt = Ax + bu
T(dz/dt) = ATz + bu
dz/dt = (T^-1)ATz + (T^-1)bu　　…(a)

y = cx
y = cTz　　…(b)

(T^-1)AT, (T^-1)b, cT の成分を具体的に計算して、
(a) (b) の式を書いておけばよい。

４.
「伝達関数」って何？
線形代数の用語なんだろうか。

お礼

迅速にご回答いただき、本当にありがとうございました！

提出日まで日がなく焦っていたのですが、
解説まで書いて頂けて、何とか答案をつくることができました。

伝達関数に関しては、問題集自体に説明がなく、
概念自体がよくわからないのですが、
後日担当教員に聞いてみようと思います。

この度はほんとうにありがとうございました！

回答No.1

alice_44

補足要求：
Mc て何や？　どっから涌いてでた？

x(t) は 4 次の列ベクトルで
u(t) は スカラーなんやろうが、
それも書いとらんとようわからん。

問題は、ちゃんと書かな。

補足

説明不足ですみませんでした。

定義に
状態ベクトルx(t)を、任意の初期状態x(t0)=x0　から、
有限時間の有界な入力u(t)(t0≦t≦tf)によって
任意の終端状態x(tf)=xf に移すことが出来る。

定理
(A,B)が可制御であるための必要十分条件は
rank[B AB ・・・　A^(n-1)B]=n である
このとき
Mc=[B AB ・・・　A^(n-1)B]を可制御行列という

教科書のこの問題の前にこの定理と定義がありました。
宜しくお願いします。