logx-1/2x-F(x)のx=0近傍での近似式

質問

タイトルのようにlogx-1/2x-F(x)(F(x)はdigamma関数)のx=0近傍での近似式が(1+6x)/2xと出来ると教科書に書いてあったのですが導出が出来ません。どなたか教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

digamma 関数は通常 ψ(x) と書きます．
さて，ご質問の式にはならないように思われます．

ψ(x) の x=0 は１位の極で，そこでの Laurent 展開は
(1)　　ψ(x) = - 1/x - γ + (π^2/6) x^2 + O(x^3)
です．
γは Euler 定数で，γ=0.5772・・・・
したがって
(2)　　log(x) -1/2x - ψ(x) = 1/2x + log(x) + γ + (π^2/6) x^2 + O(x^3)
ですが，質問の「近似式」は
(3)　　(1+6x)/2x = 1/2x + 3
です．
つまり，最も主要な 1/2x のみは合っていますが，
log(x) は消えてしまっていますし，定数項も違っています．

回答No.2

siegmund

本筋に関係ありませんが，ミスタイプしました．
コピペして修正のつもりが，修正し損ないました
正しくは

(2)　　log(x) -1/2x - ψ(x) = 1/2x + log(x) + γ - (π^2/6) x^2 + O(x^3)

でした．