微分とか極値とか、そのあたりの問題

質問

ｆ（ｘ）=x^3 + 3ax^2 +3bx + cが極値をもつとき、その差を求めよ。

・・・なんですけど、私の出した答え↓↓

｜6a^3 - 6ab - 4a^2√(a^2 - b) - 4b√(a^2 - b)｜

・・・・（´゜Д゜｀）
すっごく自信ないです(下)(下)

どうなんでしょう。。。

回答No.8

mister_moonlight · ベストアンサー

スマートな方法は、次の段階の方法として、先ずはorthodoxな方法で解けるようになるように心がけよう。

極値を与えるxの値が存在しなければならないから、ｆ´（ｘ）＝x^2 + 2ax +b＝0が、異なる2つの実数解を持たなければならない。
従って、判別式＞0より　a＾2-b ＞0‥‥(1)
それら2つの解をα、βとすると（α＞β）解と係数の関係から、α＋β＝-2a、αβ＝b。‥‥(2)
と、ここまでは良いだろう。

問題は、
＞極値をもつとき、その差を求めよ。

その差とは、極大値-極小値、or、極小値-極大値のどちらの意味なのかはわからない。
従って、その点に注意して答えを出さねばならない。

取りあえず、(2)を使って計算すると、f（α）-f（β）＝（α-β）√（a＾2-b）（(1)に注意）。
（α＞β）＾2＝（α＋β）＾2-4αβ＝4（a＾2-b）であるから、α＞βより、α-β＝2√（a＾2-b）。
よつて、f（α）-f（β）＝4*（a＾2-b）*√（a＾2-b）。と一応答えは出る。
しかし、これはあくまで　f（α）-f（β）の値に過ぎない。
だから、f（β）-f（α）の場合は、f（β）-f（α）＝-4*（a＾2-b）*√（a＾2-b）。

以上から、答えは　±4*（a＾2-b）*√（a＾2-b）。

お礼

丁寧に回答してくれてうれしいです☆彡
答え出せました☆彡ありがとうございます♪゜+.ｏ.+゜

回答No.10

owata-www

まあ、わざわざ数値を考えるまでもなく、グラフの形を考えれば絶対値をどう外すか明らかですが

ちなみにα＞βの時
f（α）-f（β）＝-2*（α-β）（a＾2-b）
α-β＝2√（a＾2-b）
f（α）-f（β）＝-4*（a＾2-b）*√（a＾2-b）
です。

お礼

わかりやすかったです☆彡
答えでました(●・・)ありがとうございます♪゜+.ｏ.+゜

回答No.9

mister_moonlight

絶対値が問題になっているようだが、“絶対値は外しといたほうがいい”ではなく、“はずさねばならない”。

理由は簡単。
｜f（α）-f（β）｜＝｜4*（a＾2-b）*√（a＾2-b）｜となるが、a＾2-b ＞0から、｜f（α）-f（β）｜＝4*（a＾2-b）*√（a＾2-b）となり、一方の値しか求められない。
当然にも“不完全解”と看做される。

お礼

不完全解になってしまうのですね；；
ありがとうございます☆彡

回答No.7

owata-www

＃５さんの仰ってるやり方が一番うまいやり方ですが、

f'(x)=3x^2 + 6ax + 3b=0の2つの解をα、βとおくと。解と係数の関係よりα＋β、αβがわかるので、そこから
(α^3-β^3）＋…を出すのが一般的だと思います。

ちなみに、絶対値は外しといたほうがいいと思われます。

お礼

参考意見使わせていただきました☆彡
出せました♪〃ありがとうございます♪゜+.ｏ.+゜

回答No.6

koko_u_

>・・・～が極値をもつときという条件ってなんでしょう・・・

問題文に「f(x) が極値を持つとき」と書いてありますよね。
ということは、極値を持たないこともあるということです。

a, b, c がどんな時に極値があって、どんな時にないのでしょう？
そして、それは解答にどんな影響を与えるでしょうか？

はい補足にどうぞ。

お礼

見直しになりました☆彡
ありがとうございます♪〃

補足

ｆ’（ｘ）＝０の時に極値をもつ。

で、私、やり方変えて、３(ｘ^2 + 2ax +b )=0
の２解をα、βとおいて、αとβの条件を求めてみました(・ω・｀=)

α＋β＝－２a , αβ＝ｂ

回答No.5

jaspachate

f'(x) は２次式ですから、
f(x) = g(x)f'(x) + Ax + B (g(x)は１次式)
の形に書けます。つまり、f(x)をf'(x)で割って、余りの Ax+B　を求めましょう。
そうすれば、極値でのxの値は f'(x)=0　の解なので、α、βとおけば、
f(α) = Aα+B
βも同様なので、極値の差は A(α-β) となりますから、形を見れば答えがあっているかどうかおわかりと思います。

お礼

そういう解き方もできるんですね☆彡
答え出せました(・ω・｀=)ありがとうございました☆彡

回答No.4

koko_u_

>｜ｆ（ α）- ｆ（β）｜が答えです。

絶対値を外さずに解答としたら、私なら×にするでしょう。

お礼

もしこの数式があっていたとしても絶対値つけたままだとよくないですよね；；
答え出せました(・ω・｀=)ありがとうございました☆彡

回答No.3

noname#111804

３次方程式なので
ｆ’（ｘ）＝２次方程式なので、その根をα、βとすると
そこで極値を持つ。故に

｜ｆ（ α）- ｆ（β）｜が答えです。

お礼

ありがとうございました☆彡

回答No.2

owata-www

ちゃんと計算してないからわからないけど、たぶん間違ってるっぽいです

お礼

答えだせました(・ω・｀=)やっぱりゥチの答え間違ってました；；
ありがとうございました☆彡

回答No.1

koko_u_

その答えを出した過程を補足にどうぞ。

ついでに「～が極値をもつとき」という条件がどうなったのかも補足に。

お礼

問題の見直し確認ありがとうございました☆彡

補足

f'(x)=3x^2 + 6ax + 3b
=3(x+a-√(a^2 - b))(x+a+√(a^2 - b))

f(-a+√(a^2 - b）)=(-a+√(a^2 - b))^3 + 3a(-a+√(a^2 - b))^2 + 3b(-a+√(a^2 - b))+C
=8a^3 - 9ab - 2a^2√(a^2 - b) + 2b√(a^2 - b) + C

f(-a-√(a^2 - b）)=(-a-√(a^2 - b))^3 + 3a(-a-√(a^2 - b))^2 + 3b(-a-√(a^2 - b))+C

=2a^3 - 3ab + 2a^2√(a^2 - b) - 2b√(a^2 - b) + C

｜f(-a+√(a^2 - b）)　－　f(-a-√(a^2 - b）)｜＝｜6a^3 - 6ab - 4a^2√(a^2 - b) - 4b√(a^2 - b)｜

となりました。

・・・～が極値をもつときという条件ってなんでしょう・・・