図形の反転

質問

2次元図形ABCDEFGHがある。頂点の座標をそれぞれA(0,0)，B(0,1)，C(4,1)，D(4,1.5)，E(6,1)，F(6,0)，G(4,-0.5)，H(4,0)とする。
この図形を直線y=2x+1に対して反転せよ。

と言う問いなのですが、
答えはA(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(3,2)，E(2,3)，F(0,3)，G(-1,2)，H(0,2)になりますでしょうか。

回答No.9

info22 · ベストアンサー

#5,#6です。
補足質問について
>頂点が8個あるので8×8でするのかと思いました。
>この場合はどうすれば良いのでしょうか。

これについてはA#6で書いたはずです。
>平行移動を伴うアフィン変換は
>３行×３列の行列を使うはず。
どの様にするかの詳細はA#6にあげた参考URLに書かれています。

ちゃんと参考URLを読んで理解していただけば、３行×３列の行列を使って

平行移動、回転移動、x軸対称移動、逆回転移動、逆平行移動
をして対称移動行列を求めます。その逆行列を求めて、
ベクトルの一次変換をして、A#5に書いた
>反転前の図形の頂点の座標を(x,y)とすると、
>反転後の頂点が((4y-3x-4)/5,(4x+3y+2)/5)となります。
(x,y)→((4y-3x-4)/5,(4x+3y+2)/5)…(◆)
の対称移動の関係が得られます。

この関係を使って対称移動後の点を求めたのがA#5に書いた次の点群です。
（この変換はEXCELを使えば移動前のA～Hの座標点列から（◆）の式の関数をつかえば対称移動後の点列が得られます。）
>正しい頂点は
>A(-0.8,0.4)，B(0,1)，C(-2.4,4.2)，D(-2,4.5)，E(-3.6,5.8)，
>F(-4.2,5.2)，G(-3.6,3.3)，H(-3.2,3.6)
>となります。

> プロットしてチェックしてみて下さい。
グラフ用紙を使って、確認して見ましたか？

こちらからアドバイスした事に対して、やられたことについての経過の補足がありませんので、更なるアドバイスが進みません。
勿論、解決されたなら詳細な補足をしていただく必要はありません。

お礼

すみません。補足を使ってしまったので、ここに投稿させていただきます。

頂点が8個あるので、3個、3個、2個に分けました。

-0.6 0.8 -0.8
0.8 0.6 0.4
0 0 1

と

0 2 2
0 0 2
1 1 1

をMMULT()を用い計算したところ、

-0.8 -2 -0.4
0.4 2 3.2
1 1 1

と出ました。
しかし、A以外はご教示いただきました解答にはなりませんでした。

同様に

-0.6 0.8 -0.8
0.8 0.6 0.4
0 0 1

と

3 2 0
2 3 3
1 1 1

をMMULT()を用い計算したところ、

-1 0.4 1.6
4 3.8 2.2
1 1 1

と出ました。

最後に2つ余ったG,Hですが、3×3にするために以下のようにし、

-1 0 0
2 2 0
1 1 0

をMMULT()を用い計算したところ、

1.4 0.8 0
0.8 1.6 0
1 1 0

と出ました。

最終的に合っているのは、Aのみでした。

補足

もちろん参考URLは読んでいます。
しかし、何をすれば良いのかわかりませんでした。
8×8にするのではないのであれば、どうすれば良いのでしょうか。
全く見当がつきません。

回答No.8

sanori

すみません。
途中の式で誤記がありました。
（ｙ1 と書くべきところを ｙ0 と書いていた箇所がありました。）
よって、下記の通り訂正させてください。

（校正の過程での誤りなので、結果には影響を与えません。）

【訂正後】
それらの交点Ｑの座標（ｘ0，ｙ0）を求めます。
連立方程式
ｙ0　＝　２ｘ0　＋　１
ｙ0　＝　－１／２・（ｘ0－ｘ1）　＋　ｙ1

４ｘ0　＋　２　＝　－ｘ0　＋　ｘ1　＋　２ｙ1

この次の行からは大丈夫です。

お礼

すみません。問題に訂正があるのと、ここまで整理したいので、いったん締め切ります。
すぐに新しく質問しますので、よろしくお願い致します。

回答No.7

sanori

３度目、お邪魔します。

直線の傾きがｍであるとき、その直線の垂線の傾きは　－１／ｍ　です。
ですから、
点Ｐ（ｘ1，ｙ1）を通る、直線ｙ＝２ｘ＋１　の垂線の方程式は、
ｙ　＝　－１／２・（ｘ－ｘ1）　＋　ｙ1
です。

それらの交点Ｑの座標（ｘ0，ｙ0）を求めます。
連立方程式
ｙ0　＝　２ｘ0　＋　１
ｙ0　＝　－１／２・（ｘ0－ｘ1）　＋　ｙ0

４ｘ0　＋　２　＝　－ｘ0　＋　ｘ1　＋　２ｙ0
５ｘ0　＝　ｘ1　＋　２ｙ1　－　２
ｘ0　＝　１／５・（ｘ1　＋　２ｙ1　－　２）
ｙ0　＝　２ｘ0　＋　１
　＝　２／５・（ｘ1　＋　２ｙ1　－　２）　＋　１

そして、
点Ｐから点Ｑへの移動のＸ成分は、
ｘ0　－　ｘ1
点Ｐから点Ｑへの移動のＹ成分は、
ｙ0　－　ｙ1

この移動と同じだけの移動をもう１回行えば、ｙ＝２ｘ＋１を対称軸として線対称な点に行き着きます。
その点の座標を（ｘ2，ｙ2）と置くと、

ｘ2　＝　ｘ0　＋　（ｘ0　－　ｘ1）　＝　２ｘ0　－　ｘ1
　＝　２／５・（ｘ1　＋　２ｙ1　－　２）　－　ｘ1
　＝　－３／５・ｘ1　＋　４／５・（ｙ1　－　１）

ｙ2　＝　ｙ0　＋　（ｙ0　－　ｙ1）　＝　２ｙ0　－　ｙ1
　＝　４／５・（ｘ1　＋　２ｙ1　－　２）　＋　２　－　ｙ1
　＝　３／５・ｙ1　＋　４／５・（ｘ1　－　２）　＋　２

【まとめ】
移動前（ｘ1，ｙ1）　→　移動後（ｘ2，ｙ2）
ｘ2　＝　－３／５・ｘ1　＋　４／５・（ｙ1　－　１）
ｙ2　＝　４／５・（ｘ1　－　２）　＋　３／５・ｙ1　＋　２

これで、準備完了です。
表計算ソフトを使うとすれば、これらの式を入力すればよいわけです。
整然とした表が簡単に作れます。

一応、手でやってみますか。
A(0,0)，B(0,1)，C(4,1)，D(4,1.5)，E(6,1)，F(6,0)，G(4,-0.5)，H(4,0)とする。

点Ａ（０，０）の行き先
ｘ2　＝　－３／５・０　＋　４／５・（０　－　１）
　＝　－４／５　（　＝　－０．８　）
ｙ2　＝　４／５・（０　－　２）　＋　３／５・０　＋　２
　＝　－８／５　＋　２
　＝　２／５　（　＝　０．４　）

点Ｂ（０，１）の行き先
ｘ2　＝　－３／５・０　＋　４／５・（１　－　１）
　＝　０
ｙ2　＝　４／５・（０　－　２）　＋　３／５・１　＋　２
　＝　－８／５　＋　３／５　＋　２
　＝　１

点Ｃ（４，１）の行き先
ｘ2　＝　－３／５・４　＋　４／５・（１　－　１）
　＝　－１２／５　（　＝　－２．４）
ｙ2　＝　４／５・（４　－　２）　＋　３／５・１　＋　２
　＝　８／５　＋　３／５　＋　２
　＝　２１／５　（　＝　４．２）

点Ｄ（４，３／２）の行き先
ｘ2　＝　－３／５・４　＋　４／５・（３／２　－　１）
　＝　－１２／５　＋　２／５
　＝　－２
ｙ2　＝　４／５・（４　－　２）　＋　３／５・３／２　＋　２
　＝　８／５　＋　９／１０　＋　２
　＝　１／１０・（１６　＋　９　＋　２０）
　＝　４５／１０　（　＝　４．５）

以下、略。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

すみません。問題に訂正があるのと、ここまで整理したいので、いったん締め切ります。
すぐに新しく質問しますので、よろしくお願い致します。

回答No.6

info22

#5です。
A#5の補足について
>MMULT()を用い、計算しました。
>前者のほうが違うと思うのですが、どこが違うのかがわかりません。
８行×８列の行列を使う意味が理解できません。

平行移動を伴うアフィン変換は
３行×３列の行列を使うはず。

参考URL：

http://nis-lab.is.s.u-tokyo.ac.jp/nis/CG/cgtxt/cg2/cg024.htm

お礼

すみません。問題に訂正があるのと、ここまで整理したいので、いったん締め切ります。
すぐに新しく質問しますので、よろしくお願い致します。

補足

頂点が8個あるので8×8でするのかと思いました。
この場合はどうすれば良いのでしょうか。

回答No.5

info22

2次元のアフィン変換を使えば求められます。
（途中の計算は複雑な行列計算や逆行列の計算を使いますので計算の詳細は省略します。）
反転前の図形の頂点の座標を(x,y)とすると、
反転後の頂点が((4y-3x-4)/5,(4x+3y+2)/5)となります。

>A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(3,2)，E(2,3)，F(0,3)，G(-1,2)，H(0,2)
は間違っています。
正しい頂点は
A(-0.8,0.4)，B(0,1)，C(-2.4,4.2)，D(-2,4.5)，E(-3.6,5.8)，F(-4.2,5.2)，G(-3.6,3.3)，H(-3.2,3.6)
となります。

プロットしてチェックしてみて下さい。

お礼

すみません。問題に訂正があるのと、ここまで整理したいので、いったん締め切ります。
すぐに新しく質問しますので、よろしくお願い致します。

補足

アフィン変換を行いました。

0,1,0,0,0,0,0,0
0.5,0,0,0,0,0,0,0
0,0,1,0,0,0,0,0
0,0,0,1,0,0,0,0
0,0,0,0,1,0,0,0
0,0,0,0,0,1,0,0
0,0,0,0,0,0,1,0
0,0,0,0,0,0,0,1

と

0,2,2,3,2,0,-1,0
0,0,2,2,3,3,2,2
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1

を
MMULT()を用い、計算しました。
前者のほうが違うと思うのですが、どこが違うのかがわかりません。
ご教示願えませんでしょうか。

回答No.4

sanori

＞＞＞計算の仕方をご教示願えませんでしょうか。

ここのＱ＆Ａサイトでは、丸投げ質問と、丸投げへの回答は禁止されています。
ご自分なりに、どのようにやってみたかを書いてみてください。（補足欄）
全く間違っていてもいいですから。

お礼

すみません。問題に訂正があるのと、ここまで整理したいので、いったん締め切ります。
すぐに新しく質問しますので、よろしくお願い致します。

補足

アフィン変換を行いました。

0,1,0,0,0,0,0,0
0.5,0,0,0,0,0,0,0
0,0,1,0,0,0,0,0
0,0,0,1,0,0,0,0
0,0,0,0,1,0,0,0
0,0,0,0,0,1,0,0
0,0,0,0,0,0,1,0
0,0,0,0,0,0,0,1

と

0,2,2,3,2,0,-1,0
0,0,2,2,3,3,2,2
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1

を
MMULT()を用い、計算しました。
前者のほうが違うと思うのですが、どこが違うのかがわかりません。
ご教示願えませんでしょうか。

回答No.3

koko_u_

では、そもそもどうやって「答え」を出したの？

お礼

すみません。問題に訂正があるのと、ここまで整理したいので、いったん締め切ります。
すぐに新しく質問しますので、よろしくお願い致します。

補足

アフィン変換を行いました。

0,1,0,0,0,0,0,0
0.5,0,0,0,0,0,0,0
0,0,1,0,0,0,0,0
0,0,0,1,0,0,0,0
0,0,0,0,1,0,0,0
0,0,0,0,0,1,0,0
0,0,0,0,0,0,1,0
0,0,0,0,0,0,0,1

と

0,2,2,3,2,0,-1,0
0,0,2,2,3,3,2,2
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1

を
MMULT()を用い、計算しました。
前者のほうが違うと思うのですが、どこが違うのかがわかりません。
ご教示願えませんでしょうか。

回答No.2

sanori

こんばんは。

ｙ＝２ｘ＋１　を対称軸として、元の図形に対して線対称な図形
ということですよね？

Ａ（０，０）は、ｙ＝２ｘ＋１　の上にはないので、必ず他の点へ移動します。
とりあえず、図を描くとわかりますが、Ａの行き先は原点（０，０）ではなく第２象限にあります。
ですから、Ａの行き先が（０，０）ということで、すでに間違っています。

ご参考に。

お礼

すみません。問題に訂正があるのと、ここまで整理したいので、いったん締め切ります。
すぐに新しく質問しますので、よろしくお願い致します。

補足

計算の仕方をご教示願えませんでしょうか。

回答No.1

koko_u_

>答えは(略)になりますでしょうか。

検算の仕方がわからないということですか？

お礼

すみません。問題に訂正があるのと、ここまで整理したいので、いったん締め切ります。
すぐに新しく質問しますので、よろしくお願い致します。

補足

はい。ご教示願います。