3次元空間中の直線同士の交点を最小2乗法で求めたい

質問

3次元空間中の点aとbを通る直線、cとdを通る直線、eとfを通る直線がそれぞれあった場合それらの直線同士が最短となる点sを求めたいのですが考えがまとまりません。

各直線式は
s = t1(b-a)+a
s = t2(d-c)+c
s = t3(f-e)+e
となり、これを最小2乗法で解きたいのですが媒介変数tが混じっていてうまく考えがまとまりません。
アドバイスをお願いします。

回答No.4

ichiro-hot

●ｖはベクトルを省略・・・SPｖ＝SPベクトル，，等
点Ｐ；直線L１：s＝ｔ1（b-a)＋a　上の点；a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)
点Ｑ；直線L２：s＝ｔ2（d-c)＋c　上の点；c=(c1,c2,c3)，d=(d1,d2,d3)
点Ｒ；直線L３：s＝ｔ3（f-e)＋e　上の点 ；e=(e1,e2,e3)，f=(f1,f2,f3)
点Ｓ；ｓ＝（s1,s2,s3)と置いて，
１）点Sと直線L1,L2L3との距離の定義を決める。
SPｖ＝OPｖ－OSｖ＝｛ｔ1（b-a)＋a｝－ｓ＝ｔ1（b-a)＋（a－ｓ）
これはL1の方向ベクトル（b-a)と直交する＝内積が０
　｛ｔ1（b-a)＋（a－ｓ）｝・（b-a)＝０
　これを解いて　ｔ１＝（s－a）・（b－a)/（b-a)＾2
　SPｖ＝｛（s－a）・（b－a)/（b-a)＾2｝（b-a)＋（a－ｓ）
　従って、
　SPｖのｘ成分＝｛（s－a）・（b－a)/（b-a)＾2｝（b1-a1)＋（a1-s1）
　SPｖのｙ成分＝｛（s－a）・（b－a)/（b-a)＾2｝（b2-a2)＋（a2-s2）
　SPｖのｚ成分＝｛（s－a）・（b－a)/（b-a)＾2｝（b3-a3)＋（a3-s3）
　ただし、次のものは内積なので
　（s－a）・（b－a)＝（ｓ1-a1)×（b1-a1）＋（ｓ2-a2)×（b2-a2）＋（ｓ3-a3)×（b3-a3）
（b-a)＾2=（b1-a1)＾2＋（b2-a2)＾2＋（b3-a3)＾2
です。
　上の各成分の2乗和をつくり，
　SP^2＝SPｖのｘ成分＾２＋SPｖのｙ成分＾２＋SPｖのｚ成分＾２

　同様にSQ^2、SR^2を作ります。
　これはすべてs1,s2,s3の関数になっています。

●誤差関数の定義；Iとします。
　以上で求めたものから、誤差関数を次のように定めます。
　　誤差関数（I）＝SP^2＋SQ^2＋SR^2
　これはやはりs1,s2,s3の関数です。

●最小2乗法
　これが一番小さくなるときのs1,s2,s3を求めルことになりますが、
　δI（s1,s2,s3）＝（∂I/∂ｓ1）・δｓ1＋（∂I/∂s2）・δs2＋（∂I/∂s3）・δs3
　＝０
　そのためには，（∂I/∂ｓ1）＝（∂I/∂s2）＝（∂I/∂s3）＝０で有ればよいことになります。
（∂I/∂ｓ1）＝０　，（∂I/∂s2）＝０　，（∂I/∂s3）＝０　
として，独立な3個の2次式が得られるので、これを連立させて解けばs1，s2，s3の値が求められることになります。変数が３個で、方程式が3個なので必ず解けますが、各方程式は3次方程式になるようですね。

　答えが出ることはわかり求められなくは無いことがわかりましたが、具体的な計算は大変そうですね・・・流れは正しいと思うのですが，これ以上は示せそうに有りません。具体的な数値を入れて計算していったほうが簡単なのかも？

回答No.3

arrysthmia

それだったら、
求めたい点Ｓの座標を (u,v) とでも置き、
誤差関数＝ＳＰ＾２＋ＳＱ＾２＋ＳＲ＾２ を
u, v, t1, t2, t3 の５変数関数と見て、
最小値を与える u, v, t1, t2, t3 を求めるだけです。

回答No.2

ichiro-hot

●表現から次の３通り考えられて・・・どれでしょうか？補足をお願いできませんか？

Ｐ；直線　s = t1(b-a)+a　上の点
Ｑ；直線　s = t2(d-c)+c　上の点
Ｒ；直線　s = t3(f-e)+e　上の点
として，　
１）誤差関数＝ＰＱ＾２＋ＰＲ＾２＋ＱＲ＾２を最小にするｔ１、ｔ２、ｔ３を求める。
２）他の点Ｓがあり、
　誤差関数＝ＳＰ＾２＋ＳＱ＾２＋ＳＲ＾２が最小になる点Ｓを求める。
３）もう1つ可能なのは、「3次元空間中の直線同士」が交点を持つように最小2乗法で最適化した3つの直線を求め、その交点Ｓを求める。

この３つの場合が考えられると思うのですが・・・
あるいはこの3つとも的外れかもしれません・・・よろしく。

補足

問題を判断する材料が十分に明記されておらず申し訳ありません。

他の点Sがありの意味が判りませんが、２が私の求めたい解答です。
3次元空間中点Sと各直線の距離が最も短くなる位置に設定したいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

すみません, 何をしたいのかさっぱり分からないんですけど.... 「それらの直線同士が最短となる点 s」ってのは, 何を意味するんでしょうか?
「最小2乗法」と言っているということは, 「3直線までの距離の平方和が最小となる点 s を見つけたい」ってことかな? そうだとすると, s から 3直線までの距離の 2乗は簡単にわかるはずで, それらの和を s の関数とみて最小化するだけですよね. 実行するのは面倒な感じだけど, 書くのは簡単.