対称群

質問

３次対称群S３のすべての部分群を求めたいのですが、これを解く方法を教えてください。

回答No.1

liar_adan · ベストアンサー

部分群…昔やったなあ。
えーと…

基本的なやり方としては、
S3の部分集合ごとに、生成される部分群を調べてみればいいわけですね。
S3の元の数は6個で、全部の部分集合は2^6＝64種類あります。
しかし、単位元(恒等写像)はかならずどの部分群にも入るので、
実質5個の集合の部分集合32種類を考えればいいわけです。

基本的にはこれで尽きていると思いますが、
もう少し簡単に考えるため、
S3の元を以下のように分類してみます。

(i)単位元(1 2 3)
(ii)互換(2 1 3),(3 2 1),(1 3 2)
(iii)長さ3の巡回置換(2 3 1)(3 1 2)
(※(i j k)で(1 2 3)→(i j k)を表している)

これらの各単元から生成される部分群を、まず考えます。
(i)はそのままで部分群。
(ii)のそれぞれから生成される部分群は、
単位元とそれのみを含む元が2個の部分群3種。
(iii)のそれぞれから生成される部分群は、(iii)の二つの元と
単位元を含む1種のみ。(3次交代群)

これで5つの部分群が見つかりました。

残り5つ、実質4つの元(※(iii)のどちらかを含む場合、
残りひとつも含むと考えられる)について考えればいいわけです。
16種を考えることになりますが、
(ii)の3種は置換の位置が違うだけで、対等のものと考えられるので、
たとえば(2 1 3)に注目して、

・(2 1 3)と、たとえば(3 2 1)の二つで群を生成した場合、
それはS3にならないか？
((1 3 2)と(iii)が出ることを言えばよい)
・(2 1 3)と(iii)で群を生成した場合、S3にならないか？
((ii)の残りの二つを導き出せばよい)
を考えます。

もっとエレガントな方法もあったような気がするのですが、
なにしろ十年以上前にやったことなので、これで勘弁してください。

お礼

ありがとうございます。
むずかしいですね＾＾；
参考にして一つ一つ理解したいと思います。