Dedekindのη関数変換公式

質問

q=exp(2πiz)として
η(z) = q^(1/24) Π_n=1^∞ (1-q^n)
θ(z) = Σ_n=1^∞ χ(n) q^(n^2/24)
ここでχ(n)はmod12の原始的偶指標で
1 (n ≡ ±1 mod 12のとき)
-1 (n ≡ ±5 mod 12のとき)
0 (その他)
とするとEulerの五角数定理より η(z) = θ(z)となります。
逆にη(z)とθ(z)の変換公式から Eulerの五角数定理が得られるかどうかに興味があります。
F(z) = θ(z)/η(z)
としておいてF(z)がSL2(Z)不変であることが示せればSL2(Z)/Hおよびi∞}で正則であることを
用いてLiouvilleの定理から定数になってlim(z->i∞) F(z) = 1から得られると考えられます。
そこでF(z)がSL2(Z)不変であることを示したいので変換z->z+1とz->-1/z について
のη(z)、θ(z) の変換性をみたいのです。変換z->z+1については
η(z+1) = exp(πi/12)η(z), θ(z+1) = exp(πi/12)θ(z)
が簡単に得られます。変換z->-1/zについてθ(z)についてはPoisson和公式より
θ(-1/z) = sqrt(z/i) θ(z)
が得られます。ということは
η(-1/z) = sqrt(z/i) η(z)
のはずですが Eulerの五角数定理を用いないで示せるでしょうか？Poisson和公式に相当する
ような無限積に関する公式があるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

wloop · ベストアンサー

ηの変換性についてはセールの「数論講義」に書かれています。
内容はおおむね以下のようです。

η(-1/z) = sqrt(z/i) η(z)の両辺のlogをとって微分します。
log(η(z))の微分は
d/dz(log(η(z)))=((π・i)/12)E_1(z)となります。
ここでE_1(z)＝G_1(z)/(2・ζ(2))で定義され、G_1(z)は
アイゼンシュタイン級数でG_1(z)=ΣΣ1/(c・z+d)^2で定義されます。
（(c,d)を（0,0)でない整数の組として、ΣΣはそれらについての和）
このlog(η(z))の微分をつかうと、logをとった後の微分はそれぞれ
d/dz(log(η(-1/z)))=((π・i)/12)・z^(-2)・E_1(-1/z)
d/dz(sqrt(z/i) η(z))=((π・i)/12)(E_1(z)-(6・i)/(π・z))
となります。E_1(z)の変換性、
z^(-2)・E_1(-1/z)=E_1(z)-(6・i)/(π・z)
という性質からη(-1/z)、sqrt(z/i) η(z)は定数倍で等しく、
z=iとおくとその定数が1と決まります。

このようにηの変換性はE_1(z)の変換性を利用して導かれているようです。
この変換式もセールの本に導出があります。

お礼

ありがとうございました。