微分

質問

dy=(dy/dx)dx…(A)の関係を導けるので、
dy÷dx=dy/dx(微分係数)と微分の割り算を決めて
(A)の両辺をdtでわり、
dy/dt=dy/dx×dx/dt　　が成り立つ

これは合成関数の微分の証明として大丈夫ですか?

回答No.2

Dr-study

証明として間違ってると思います。

dy/dxの意味はdy/dx =　(d/dx)(y)とyをｘで微分演算した結果という意味です。dx,dyは微分演算や積分演算の時の表記ですから、dxとかdyをスカラー数Δx,Δyと同じように割り算すべきでないと思いますが。きちんとdx,dyとΔx,Δyを区別すべきです。dtで割るというは普通ないと思います。

確かに(A)式は成り立ちますが、私なら次のように示します。

y=f(t)とt=g(x)が共に微分可能であるから、関数の連続性よりΔx→0のときΔt→0,Δy→0
∴Δy/Δx = Δy/Δt × Δt/Δx →dy/dt × dt/dx (Δx→0)

回答No.1

gef00675

１．もしあなたが高校生なら：
　合成関数の微分公式をそのように覚えておくのは悪いことではないけども、「証明として大丈夫」とはいえません。証明せよといわれたら、数IIIの教科書に書いてあるようにしましょう。

２．もしあなたが大学生なら：
　(A)の式の左辺のdyの意味は何ですか？　形だけ式を変形しても、正しいことの証明にはなりませんよ。