０の０乗を１と考える

質問

べき乗x^n を、1 に x を n 回掛けることと考える場合がある。
その場合は 0^0=1 である。
これは、総乗を使って x^n=Π[i=1,n]x と考える場合も同じである。
総乗の場合も、何も掛けないこと、つまりΠΦは 1 となる。
この時、べき乗の定義を、次のように考えていることになる。
・x^0=1,
・x^(n+1)=x^n*x (n>=0).
この変更により変化するのは、0^0 の値だけである。

以上の文章に、間違いはありますか？

なお、これに従ったべき乗に、利便性や0^0での連続性はありませんが、
それは一般的なべき乗でも同様であり、
どちらが正しいかを数学的に証明することはできません。

回答No.22

arrysthmia · ベストアンサー

←No.21 補足
二つの問題が、ゴッチャになっていますね。
一つは、実数の有理数乗を拡張して、実数乗が連続になるようにできるか？という問題。
もう一つは、複素多価のべき乗を、連続な枝の集まりに整理できるか？という問題。
No.18 までは前者を、No.21 は後者を、問題にしているようです。
後者の説明には、前者の結果を使います。前者の証明は、後でまとめて書くことにして、
まづは No.20-21 の応答を完結させるために、後者から話を始めます。

正の実数 a と有理数 m/n に対して、「a の　m/n 乗」を y^n = a^m の解 y と定義すると、
このような y は、複素数の範囲で n 個、正の実数の範囲で 1 個、存在します。
y を x の関数と考えると、前者は複素多価関数、後者は実(一価)関数となります。
区別のため、前者を a↑x、後者を a^x と書くことにしましょう。
a^x を x について連続な実関数に拡張できることは、後で証明することとして、
ここでは仮定しておきます。

a↑x と a^x の間には、a↑x = (a^x) exp(2πixn) （ただし、n は整数）という関係が
あります。ここで、n は任意の整数であり、当面、x ごとに異なると考えてよい。
n が x の関数であることを強調して n[x] と書くことにしましょう。上式より、
| a↑(x+ε) - a↑x | = (a^x) | 1 - (a^ε) exp{ 2πix(n[x+ε] - n[x]) + 2πiεn[x+ε] } |
という式が成り立ちます。a^x の連続性は仮定しており、a > 0 より lim[ε→0] a^ε = a^0 = 1
にも問題がないので、この式から、ε→0 のとき a↑(x+ε) → a↑x か否かは、
n[x+ε] → n[x] であるか否かと同値でることが分かります。
n[x] は、整数値をとる関数ですから、連続であれば、定数関数に限られます。
つまり、a↑x の連続な枝は、a↑x = (a^x) exp(2πixn) （ただし、n は整数定数）に限られる
ということです。

a↑(1/2) を、あり得る二つの値の中から一つ選択したということは、
exp{2πi(1/2)n} の値が分かったということです。exp は周期 2πi を持ちますから、
それは、n を 2 で割った余りが分かったことに等しい。同様に、
a↑(2/3) の値を選べば n を 3 で割った余りが、a↑(11/13) の値を選べば n を 13 で割った余りが、
決まる。これだけでは、n の値は決まらず、a↑(1/e) の値も決まりません。

無理数 x に対する a↑x の値を特定するためには、n を決定する必要があります。
例えば、全ての素数 p に対する a↑(1/p) を選択するなどすれば、a↑(1/e) を決めることが
できるでしょう。

お礼

＞無理数 x に対する a↑x の値を特定するためには、n を決定する必要があります。
＞例えば、全ての素数 p に対する a↑(1/p) を選択するなどすれば、a↑(1/e) を決めることができるでしょう。

これは、実際にやってみれは真偽を判定できます。
すべての素数に対して、余りが 1 などと決まれば、本当にa↑(1/e) が決まりますか？

私は、一番楽そうなのをやってみました。
2 で割った余りが 1 で、その他の素数での余りが 0 と仮定しました。
この場合、a↑x はすべての有理数に対し実数値となります。
a↑(1/2)は負の数、a↑(1/p)は正の数です。
2πn(1/e)=2πm と置けば 1/e=m/n となり n=0 でなければ m は整数ではありません。
同様に 2πn(1/e)=π(2m+1) と置けば m は整数ではありません。
つまり a↑(1/e) は正の数でも負の数でもなく、共役複素数が答えになるでしょう。
私に計算できるはここまでで、具体的な答えは出ませんでした。
＃n=[+-]3以上の素数の積にはなりますが…

ありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

＞ これは、以前の質問が終わっていないからですね。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4469777.html No.30～No.31 のことですか？
流石に、私は高木貞治のマネをするほどの人物でもないので、ここで
収束と連続の基礎から解析学の入門をひと通り講義するのは、勘弁してもらいたい。

お礼

念のため確認しておきます。
あなたの言われる方法で、次の値は何になりますか？

s(t)=Σ[k=1,∞]4/π*sin((2k-1)*t)/(2k-1)
lim[u→x] s(u) に x=0 を代入する
＃s(t) は、フーリエ級数で表された矩形波（周期2π,振幅1）です。

この時、値は 0 になりますか？それとも、未定義（あるいは収束しない）になりますか？
＃回答いただければ、幸いです。

ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

＞ 以上の文章に、間違いはありますか？

「この変更により変化するのは、0^0 の値だけである。」の箇所が間違い。

・ x^0 = 1,
・ x^(n+1) = x^n * x　(n>=0).

を定義とする、fusem23氏の「べき乗」には、

・ x^y の y が有理数に限定される

という際立った特徴があり、世間で「べき乗」と呼んでいるものとは
大きく異なる。氏は、e^x を見たことがないと思われるが、いずれにせよ、
変化するのは、「0^0 の値だけ」ではない。

＞ それは一般的なべき乗でも同様であり、
＞ どちらが正しいかを数学的に証明することはできません。

は正しい主張だが、どちらが正しいかは決められないことと、
ふたつのものの区別が分からないことは、全く別の話である。

お礼

＞・ x^y の y が有理数に限定される

これは、以前の質問が終わっていないからですね。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4469777.html

意見の開示がなければ、その誤りも指摘できないので、連続性に関する部分は保留しています。

ここで回答するかどうかは自由ですが、私は続きが聴きたかったですね。

ありがとうございました。

回答No.2

graphaffine

間違いも何も、そもそもxが何者か明確にしていないことで
数学的には破綻しています。従って、その「定義と称するもの」は無意味です。

お礼

ｘを実数とするとどうなりますか？

ありがとうございました。

回答No.1

masa2211

＞べき乗の定義を、次のように考えていることになる。
＞x^0=1,
＞x^(n+1)=x^n*x (n>=0).
ｘが実数で、ｎがゼロまたは自然数、ですよね？
それでは、　x^-1　のような演算が、X＞0の場合にも未定義となってしまいます。
x^(n+1)=x^n*x は、x=0の例外を認めれば、ｎが負でも成立するのに、
x=0を例外にしたくないばかりにｎ＜0を定義から外しています。
いくらなんでも、べき乗の定義が身勝手すぎるでしょう。

お礼

指数が負の場合には、次のように定義します。
x^(-n)=(x^(-1))^n
ただし、x^(-1)*x=1 となる逆元と言われるものが存在する場合です。
x=0 については、逆元が存在しないため、指数が負では未定義となります。

なぜこうなっているかと言うと、べき乗を逆元が存在しない場合も定義可能とするためです。
実数で考えると、0 以外の数に逆元（逆数）が存在するのは当たり前なんですが、それが存在しない場合がある行列などに拡張するためには、一旦定義をこのようにしておいて、必要に応じて負の場合を定義するということが行われます。

ありがとうございました。