数III

質問

自然数nに対して、Rn（x）＝1/（1＋x）－｛1－x＋x^2－…＋（－1）^n・x^n｝とするとき
(1)lim　　∫1 Rn(x^2)dx
n➙∞ 0

(2)無限級数1-1/3+1/5-1/7+ …の和
をそれぞれ求めよと言う宿題が出たんですが数IIIがどうしても分からないのでどなたか教えてください！
よろしくおねがいします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

Rn(x)=1/(1+x)-Σ{k=0～n}(-x)^k
=1/(1+x)-Σ{k=0～n}(-x)^k(1+x)/(1+x)
=1/(1+x)-[1-(-x)^{n+1}]/(1+x)
=(-x)^{n+1}/(1+x)

(1)
∀ε>0→∃n_0>1/ε
∀n>n_0
↓
|∫_{0～1}Rn(x^2)dx|
=|∫_{0～1}{1/(1+x^2)-Σ{k=0～n}(-x^2)^k}dx|
=|∫_{0～1}{(-x^2)^{n+1}/(1+x^2)}dx|
=∫_{0～1}{(x^{2n+2})/(1+x^2)}dx
≦∫_{0～1}(x^{2(n+1)})dx
=1/(2n+3)<1/n<1/n_0<ε
↓
lim_{n→∞}∫_{0～1}Rn(x^2)dx=0

(2)
0=lim_{n→∞}∫_{0～1}Rn(x^2)dx
=lim_{n→∞}[∫_{0～1}{1/(1+x^2)-Σ{k=0～n}(-x^2)^k}dx]
=lim_{n→∞}[π/4-Σ{k=0～n}{(-1)^k}/(2k+1)]
↓
Σ{k=0～∞}{(-1)^k}/(2k+1)]=π/4

お礼

ありがとうございました。