素直に問題を解くということ

質問

テキストの基礎問題を解いていたところ、今回は「素直に考
えていたら素直に考えてはいけなかった」という壁にぶち当
たりました。

問
ある果物屋では、りんごを同じ数ずつかごに入れて販売して
いる。ある日りんごをいくらか仕入れ、３個ずつかごに入れ
ていったところ１個余った。また４個ずつ入れていったら２
個余り、５個ずつだと４個余った。この日仕入れたりんごの
個数としてありうるのはどれか。

僕の考え

３個ずつだと１個余る→りんごの数は、３Ｋ＋１
４個ずつだと２個余る→りんごの数は、４Ｋ＋２
５個ずつだと４個余る→りんごの数は、５Ｋ＋４

この条件にぴったりあう数字は…一個ずつ確かめていくしか
ないので、数字を並べていくと、３４が共通することがわか
りました。

てことは、選択肢のうち３４の倍数が正解になるはずだ！と
思い、早速計算してみたのですが、例えば２倍である６８は、
もうすでに上の３つの条件にあわないことがわかりました。

これはもうどうしようもないと思い、テキストの解説を読む
と、「１２と５の公倍数＋３４」が正解になるそうです。

で、これを読み、僕は素直に、「なんでそのまま３４ではダ
メなのだろう？なんでわざわざ１２と５の公倍数に足さなけ
ればダメなのだろう？」と感じました。だって一番初めに、
ぴったりくる数字が３４なら、普通に素直に考えて、３４の
倍数をそのまま当てはめて考えればいいってことになるはず
ですよねぇ？

それがなんでわざわざ、１２と５の公倍数なんてとこまで、
一気に話が飛ぶですか？今回はたまたま、３４の倍数では
解けないことがわかったからよかったかもしれませんが、
わからなかった場合、これがＮＧであるヒントがないから、
途中でＮＧであるということに気付けないですよね。

算数が得意な皆さんは、いつごろ、何をヒントに３４の倍
数ではダメだと気付きますか？また、１２と５の公倍数に
足せばいいと気付きますか？よろしくお願いします。

回答No.8

ltx78

例え話をします．

「一を聞いて十を知る」ということわざがあります．
とても頭の良い人に対して使われます．
ですが，普通の人はそんなことはできません．
一から八まで聞いて九と十に気付く，そのくらいでしょう．
（つまり，多くの事例をあらかじめ挙げておいて，そこから一般的な事実を推測する，ということです）
そしてその訓練を積むうちに，
一から八まで聞かなければその先が分からなかったのが
一から七まで聞けば分かるようになり，
さらに訓練を積めば一から六まででよくなり，
さらなる訓練で一から五まで，四まで，と，勘が働くようになってきます．
これを突き詰めれば，「一を聞いて十を知る」ことに近づくのでしょう．

で，質問者さんの問題の解き方を見ると，
「一から七くらいまで聞けば分かる」ところまで辿りついていないのに，
いきなり「一を聞いて十を知」ろうとしているように見えるんですね．
あまり経験を積んでいないのに，無理矢理一足飛びに答えを求めようとする，
そんなところが「考え方は素直でない」というように見えたのです．

で，どうすればよいか，ということですが．
基本的にはトレーニングを積むしかないでしょうね．
例えば，今回の問題であれば，
「一般項を見つけるためには，最低でも2つの例を挙げてからにする」
というのが良いでしょう．
それを繰り返していれば，そのうち勘が働くようになり，
「あ，この問題はこうすればいいんじゃないか？」というのが見えるようになってきます．

参考までに，この問題（リンゴの数の問題）に対しては，
「中国人剰余定理(Chinese remainder theorem)」と呼ばれる定理を適用すると
非常にスマートに解くことができます．
興味があれば調べてみるのも良いでしょう．

お礼

ありがとうございます。

＞いきなり「一を聞いて十を知」ろうとしているよう
＞無理矢理一足飛びに答えを求めようとする

とあり、「どのようなところがそうなのだろう？」と質問文を
読み直してみました。

＊一個ずつ確かめていくしかないので、数字を並べていくと
＊３４が共通することがわかりました
＊３４の倍数が正解になるはずだ
＊考えて、３４の倍数をそのまま当てはめて考えればいい

最低でも２つの例をあげろというアドバイスから察するに、
３４が見つかったその後も、別のヒントの可能性を考え、
まだ同じ作業をすることで、解答に近づく、といった感じ
でしょうか？

回答No.7

staratras

質問者様の考えは「割り切れる」時には正しいのですが、「割り切れず余りが出る」時の「余り」には成り立ちません。おそらくこの両者を混同してしまった勘違いだと思います。

例えば１０は５で割り切れて、その倍数（整数倍）である２０、３０，４０…も、もちろん５で割り切れます。
しかし１０を７で割ると余りが３ですが、２０、３０、４０を７で割ると余りはそれぞれ６、２、５となり、１０の時の余りと一致しません。

さてこの問題に帰れば、３個ずつ分ければ１個余り、４個ずつ分ければ２個余るという条件から、仕入れたりんごに２個足せば３でも４でも割り切れることが分かります。仕入れたりんごの個数をＸ個とすれば、Ｘ＋２は３の倍数でもあり、４の倍数でもあります。つまりＸ＋２は３と４の公倍数です。３と４の最小公倍数は１２なので、Ｘ＋２は１２の倍数です…（１）

次に５個ずつ分ければ４個余るという条件から、Ｘ＋１は５の倍数になります…（２）
Ｘ＋１の候補は５、１０、１５、２０、２５、３０、３５、４０、４５、５０、５５、６０、６５、７０、７５、８０、８５、９０、９５
…（３）

条件（１）からＸ＋１は１２の倍数から１を引いた数になるので
Ｘ＋１の候補は１１、２３、３５、４７、５９、７１、８３、９５…（４）

（３）と（４）の両方を満たすＸが最小の場合は　Ｘ＋１＝３５　つまりＸ＝３４の時です。　　
この次に大きいＸはＸ＋１＝９５　つまりＸ＝９４の時です。
９４－３４＝６０　この６０は５と１２の最小公倍数（初めから言えば３と４と５の最小公倍数）で、このあともＸ＝１５４、２１４、２７４…と６０おきになります。　

これはなぜかといえば、この問題では余りの個数だけがポイントなので、題意を満たす最小のりんごの個数（３４個）に、３でも４でも５でも割り切れる個数（６０個の倍数）をどれだけ加えても余りの個数には影響がないからです。

お礼

例えば１０は５で割り切れて…
しかし、２０、３０、４０を７で割ると…

そうですね。６８は３４の２倍なのだから余り１になるはずがない、というどなたかのコメントを読み、簡単な数字で自分も試してみたところ、本当にこのような法則がありました。

＞（３４個）に、３でも４でも５でも割り切れる個数（６０個の倍数）をどれだけ加えても余りの個数には影響がない

「こうだよ」と説明を受ければ「試してみたら本当だ」となりますが、これを自分ひとりで気がつくのはとても大変なことです。なぜなら、せっかく３４というキーワードを見つけたのに、それをわざわざ
「６０個の倍数をどれだけ加えても…」と、何の前触れもなく、無の状態から新たなキーワードをつくり、ひっぱってきているからです。

僕もそんなテクニックが使えるようになりたいです。ありがとうございました。

回答No.6

tsuyoshi2004

算数が得意とも思いませんが・・・・
多分、私の思考を出来る限り細かく分けていくと・・・・
リンゴの総数っていうのは、次の３つの条件に当て嵌まるんだな・・・
Ａ：３個ずつで１個余る
Ｂ：４個ずつで２個余る
Ｃ：５個ずつで４個余る
ここではまだ答えの想像もついていないので、とりあえず条件のどれかに当て嵌まる数を考えていきます。（ちょっとずるいですが、条件Ｃは５個に１個しか当て嵌まらないので、一番少なそうだと思い条件Ｃから考えます。）
Ｃ：9,14,19,24,29,34,39,44・・・・・・・
（当たり前だけど、階差５の階差数列だな）
その中で条件Ｂを満たす物を考えると
Ｃ∩Ｂ：14,34,54,74・・・・・・
（今度は階差２０の等差数列か・・・仮定Ｄ）
ではさらに条件Ａも満たすものを考えると
Ｃ∩Ｂ∩Ａ：34,94・・・・・・
ここで再度、さっきの仮定Ｄを思い出して、これもまた階差数列ではないか？という想定をして考えます。
そして
「そうか！６０個のリンゴは３個でも４個でも５個でも余り無く分けられる個数だ！ってことは、リンゴが何個あっても６０の倍数を引いて考えれば、分けたときの余りは同じになるよ！」
と気がつきます。
従って、３と４と５の公倍数（０を含む）に３４を足した個数がリンゴの総個数であるという結論を出します。

多分、私はこのように、解いていく中には直感による推測とそれが正しい事であるかを見極めるという作業が随時繰り返されていると思います。
また、どの時点でも一定の数の倍数が答えとも考えていないと思います。

ただ、最初にきっとある数の倍数になるのではないか？という仮定を考えてみることは一概に間違っていないと思います。が、条件ＡでもＢでもＣでも導かれる数字がある数字の倍数になっていないことに気がつけば、一定数の倍数になるというのは違っているという想定もつきやすいと思います。

ＰＳ　集合式の使い方などは正しくないと思います。ただ、自分の思考の中なので許してください。

お礼

ありがとうございます。

”「そうか！６０個のリンゴは３個でも４個でも５個でも余り無く分けられる個数だ！ってことは、リンゴが何個あっても６０の倍数を引いて考えれば、分けたときの余りは同じになるよ！」と気がつきます。従って、３と４と５の公倍数（０を含む）に３４を足した個数がリンゴの総個数であるという結論を出します。”

すごーい（^o^）。この考え方とひらめきは、相当複雑なように感じます。なぜなら、３４の存在に発見したのに、わざわざ３，４，５の公倍数に足すという、算数的なテクニックを使っているからです。

そういうのを自力で思いつくことができず、苦労しています。

回答No.5

yamsaru

教え子に似たような生徒がいるので、おせっかいですが。
hypnosisさんは、「数に対する感覚」がなさすぎるように思います。

例えばこの３４という数は、
　　「３個×１１セットと、余りが１個」
　　「４個×　８セットと、余りが２個」
　　「５個×　６セットと、余りが４個」というふうに分けられます。
これなら確かに、設定に合っているでしょう。ここまではいいんです。

そしてhypnosisさんは、当然その倍の６８も答えのはずだと言いたいのでしょう？
この『当然』という言葉が曲者なのです。
なんで『当然』そうだと思うのでしょうか？
私にはその方が論理の飛躍だとしか思えません。

だって６８というのは、３４の倍なんですよ？
つまりさっきの３４に加えて、もうひとつ３４を用意するわけです。
すると
　　６８→３４と３４
　　　　→つまり「３個×１１セットと、余りが１個」がふたそろい
　　　　→全部で「３個×２２セットと、余りが２個」できる
要するに、さっきの倍のセットが作れて、さらに『余りも倍に』なりますよね。
だってさっきと同じものが、もうひとそろいあるんですから。
他にも
　　６８→３４と３４
　　　　→つまり「５個×　６セットと、余りが４個」がふたそろい
　　　　→全部で「５個×１２セットと、余りが８個」できる
ああ、やっぱり余りも倍になってる。これじゃダメだなと気付きます。

要は「３４」というのは、
「３個や４個や５個のセットを作り、なおかつ望みどおりに余ってくれる数」です。
さて、余りの個数をそのままにして、リンゴを増やそうと思ったら、
当然「３でも４でも５でも割り切れる数」だけ追加しようと思いませんか？
うまくカゴに分けられる個数だけ、追加すればいいと思いませんか？

要するに、hypnosisさんが『当然』と思うことは、全然『当然』ではありません。
今回も３４を求めた時点で舞い上がってしまい、答えを決め付けていませんか？
「素直に考えて、３４の倍数でいいはずですよねぇ？」
　　　→　いいえ。素直に考えれば、まず３４の構造を調べようとします。
「なんで一気に話が飛ぶんですか？」
　　　→　むしろ「３４の倍数のはずだ！」の方が、確認もせずに話が飛んでいます。
　　　　　だってそれは「何となくそう思った」以外に、明確な理由がないでしょう？
「ＮＧであるヒントがないから気付けない」
　　　→　調べれば気付きます。それがヒントです。なんで調べないのですか？
　　　　　え？調べようということが思いつかない？
　　　　　いや、構造を調べるのは数学の常識ですよ…それをしない方が驚きです。

どうもhypnosisさんは、理屈でなく感覚で答える癖があるように思えます。
イラストを描きましたか？ハッキリと数えましたか？
その目で確認しましたか？決め付けていませんか？
毎回hypnosisさんの言う『当然こうなるはず』は、ほとんど「気分的なもの」です。
証拠もなければ、実際に数えた結果でもありません。
私には「なんとなくそんな気がした」としか読めず、まったく数学ではありません。
最後の最後まで、その目で確認したことしか信じてはいけないのです。

前回もお尋ねしましたが、hypnosisさんの学年をお教えいただけませんか？
小学生なら許されるミスですが、もし高校生なら確実に悲惨な状況です。
私は高校教師ですが、同じミスを犯す生徒は、皆かなり低学力なので気になって…
お気を悪くされたら失礼しました。

回答No.4

ltx78

敢えて厳しい言い方をするならば、「あなたの考え方は素直ではない」からです。

一つ質問をしましょう。
「34の倍数が題意を満たすなら、0は題意を満たすか？」
# 0は34の倍数です。

お礼

ありがとうございます。

んん～、難しいです。あなたの考え方は素直ではないから…
とありますが、では、どう考えればよいのですか？自分では、
素直に考えているつもりなのですが…

回答No.3

arrysthmia

＞ だって一番初めに、
＞ ぴったりくる数字が３４なら、普通に素直に考えて、３４の
＞ 倍数をそのまま当てはめて考えればいいってことになるはず
＞ ですよねぇ？

普通に考えても、普通じゃなく考えても構わないのですが、
最低限、多少は何かを考えたならば、

３４を３で割った余りが１であるってことは、
３４×２を３で割った余りは１じゃない　ことに気づくはずです。

大切なのは、何も考えずに結論してしまう前に、
一度は「普通に素直に考え」てみることです。
頭は、使わないと腐ります。

お礼

arrysthmiaさん、こんばんは。

＞３４×２を３で割った余りは１じゃない　

僕はてっきり３４×２を３で割れば１になるのかとばかり
思っていました。だから、６８が条件にあわないと知った
ときは、大きなショックを受けました。

回答No.2

koko_u_

>僕の考え
>
> ３個ずつだと１個余る→りんごの数は、３Ｋ＋１
> ４個ずつだと２個余る→りんごの数は、４Ｋ＋２
> ５個ずつだと４個余る→りんごの数は、５Ｋ＋４

ここに書かれた K はすべて異なるものなので、異なる変数を充てるのが原則です。

>この条件にぴったりあう数字は…一個ずつ確かめていくしか
> ないので、数字を並べていくと、３４が共通することがわか
> りました。

この辺をもう少し補足しましょう。
どのように 34 が「共通する」と考えたのでしょうか？

お礼

「この辺をもう少し補足しましょう」というところで、
「おやおや？」と思いましたが、koko_u_さんでしたか。
こんばんは。

３つのケースの条件に当てはまる数字を小さいほうから一つ
一つ数えていったところ、３つおそろいだった一番はじめの
数字が３４です。だから、３４の倍数が答えになると思った
んです。

ちなみに、パターンとしての解き方はマスターしているので、
類題はキチンと解くことができます。

「３桁の自然数のうち、９で割ると５余り、１１で割ると２
余る数はいくつあるか」、この問は、今回学んだ解き方で解
くことができました。

回答No.1

chiezo2005

１２と５の公倍数というよりは3と4と5の公倍数が正しい表現です。

あまりの問題なので，余りを倍にしても同じ余りにはなりません。
10を3で割ると１あまりますが，1の倍の2は
3で割ると2余りになって余りが変わります。

余りがかわらないのは割った数３を何倍かして余り1を足した数です。

したがってこの問題も余りが変わらないのはそれぞれの
余りに倍数を足したものになります。
共通の倍数をもつ必要があるので60という最小公倍数が該当します。

お礼

ともすれば、やはり「これはこういうもの」として覚えてしまった
ほうがよいということですよね。

ありがとうございました。