公倍数：なぜ2つセットで考える？？

質問

今日は解けない問題ではなく、「解けたけど解法に自信がない」
「テキストの解説に疑問が残る」問題がでてきましたので、質問
します。

問
たて18ｃｍ、よこ30ｃｍの長方形のタイルを、すきまなくかつ
重なることなく敷き詰め正方形を作りたいか。正方形の1辺の長
さが4ｍ以上5ｍ以下のとき、タイルは何枚必要か。

選択肢　1）225　2）300　3）375　4）450　5）525

＊僕の解き方
一辺の長さが400cm以上で500cm以下なわけだから、たての枚数と
して考えられる候補は、400÷18＝22枚～500÷18＝27枚。
よこの枚数として考えられる候補は、400÷30＝13枚～16枚。

求めなければならないのはタイル全ての数だから、横×縦で求め
られる→よって、お互いの候補同士をかけあわせて、選択肢と一
致したものが正解である→色々試していると…おや？25×15＝375
正解は（3）だ！となりました。この解き方はあっていますでしょ
うか？それともまぐれで一致しただけでしょうか？

＊テキストの解説
縦と横の長さは18と30の公倍数の長さだから90となり、4ｍ以上
5ｍ以下の90の倍数は450cmのみである。よって、これが１辺の
長さになる。450÷18＝25、450÷30＝15がタイルの数なので、3が
正解である。

で、ここですごく疑問なのは、「なぜ18と30の公倍数という風に、
縦と横を一緒にして考える必要があるのか？」です。縦と横は長
さが違いますし、枚数も違うはずです。つまり、これは一緒に考
えるよりもそれぞれ独立させて考える必要があると感じています。
（だから、自分の解き方では縦横それぞれの候補数を求めて解き
ました）。

18と30の公倍数という風に一緒に考えて計算すると、この式で求
められる答えは縦横の区別なしに設問とは関係ない数字が求めら
れてしまうのではないかと感じています。

いつも書いていることですが、自分が考え付いたことはいつも間
違っていて、その間違いを人に説明されると納得できる、という
パターンが多いということが心配です。

皆さんも18と30を別々にして考えるべきだとは思いませんか。
18と30の公倍数では縦と横に関係のない数字がでるだけだとは思
いませんか。

回答No.2

liar_adan · ベストアンサー

・正解になったのはまぐれです。

・別々にして考えるべきではありません。
問題の「正方形」という所を見逃していませんか？

正方形という条件から、縦と横の長さは、同じです。
この長さをXとすると、

(A)…Xは18の倍数。
(B)…Xは30の倍数。

ということが成り立ちます。これはわかりますね。
この2つの条件を一緒にしたのが、

(C)…Xは18と30の公倍数。

です。(A)と(B)イコール(C)です。
「公倍数」という用語が出るから緊張するのかも知れませんが、
(C)で言っていることは(A)と(B)を合わせたものにすぎません。

質問者さんのやりかたでは、「正方形」つまり「縦と横が同じ」
という条件が抜けています。
たしかに、縦と横の範囲を求めて組み合わせれば、
「組み合わせの中に正解はある」
のですが、
「組み合わせの中にあったものが、正解とは限らない」
わけです。

お礼

回答が遅くなってしまいすみません。
ありがとうございました。

回答No.7

yamsaru

当方、高校の数学教師ですが、気になったので。
過去の質問もざっと拝見しましたが、hypnosisさんは何年生ですか？
私には、どうもhypnosisさんの実力と、問題の難易度が釣り合っているとは思えないものばかりでした。

非常に失礼ながら、hypnosisさんの数学能力は非常に低いと思われます。
（本当に失礼ですね。申し訳ありません…
　以下、不愉快であろうことを述べさせていただきます）
偏差値だとおそらく40あるかどうか。かなり下の方だと推測します。
分数や比率、方程式といった「小学校や中学校で身に着けること」が、
スッポリ抜けているようです。
私の教え子ならば、正直「話にならないレベル」です。
中学一年・または小学校の教科書を渡して「よく読んで出直せ！」と
怒鳴りつけているでしょう。

例えば今回の問題も「正方形である」→「縦と横の長さは同じ」という
条件を見落としておられますね。
例えば「公倍数」を知らない小学生でも
　　「うーん。縦に並べていくと、長さは18、36、54…になるのか。
　　　そして、横に並べていくと、長さは30、60、90…になるなぁ。
　　　じゃあ、いつになったら同じ長さになるんだろう？」
おそらくこれぐらいのことはすると思うんです。
非常に原始的ですが、これこそが問題の本質です。
しかしhypnosisさんはいつも「それが閃かないんだ」とおっしゃる。

しかし…これはもう「ひらめく」ようなものではないでしょう。
強いてあげれば「常識だから」としか言いようがありません。
　　正方形なら、縦と横の長さが等しいのも「常識」
　　だから、等しくさせようと気を配るのも「常識」
断っておきますが、これはエリートにとっての常識ではありません。
ごく普通の、一般人にとっての常識です。
「公倍数」というのは、それを素早く求めるための手段でしかありません。
公倍数が分からないのなら、上記のように
「縦にひとつ、ふたつ…。横にひとつ、ふたつ……
　よし！やっと長さが一緒になった！」
と数えればよいのです。
それすら思いつかないと言われたら……正直、学校ではどうしようもないでしょう。
そこまで能力に乏しい生徒がいるというのは、教員にすれば全く想定外なんです。
はっきり言って数学以前に、その子が日常生活をキチンと送れているか心配になります。

その一方で、hypnosisさんが持ち込まれる問題は、毎回ややこしいものばかりですね。
かなり上位の生徒でも考え込むようなものが多いです。
私なら、そのレベルの生徒にそんな問題は絶対にやらせません。
問題の難易度が、その子の能力を遥かに超えているからです。
負け続けの草野球チームが、甲子園の優勝校と戦うようなものですね。
時間ばかりかかって、得るものがあるとは思えません。

だからこそ、hypnosisさんの学年が気になってきます。
もし中学一年生なら
　　「数学が苦手な子なのかな？まぁよくいるタイプだけど……
　　　でもなんでこんな難しい問題やってるんだろう？」と思います。
もし高校二年や三年なら
…言いたくありませんが、かなり悲惨な状況だと思います。
進学を諦めた底辺校の生徒だというなら納得ですが、問題を見る限りそうは思えないし…
しかしそれにしては、高校生が知っておくべき「常識」があまりにもなさすぎます。

さんざん失礼なことを書いて、本当に申し訳ありませんでした。
そして質問に質問で返す無礼を許されるなら、hypnosisさんの学年と、
あのようなややこしい問題をせねばならない状況（学校の宿題・受験に必要など）
をお教えいただけませんか？

お礼

遅くなってすみません。
ありがとうございます。

問題の難易度云々については、当たり前ですが、わからない
問題のみを選んでここで質問しています。僕は今まで算数だ
けやらずに来てしまったので、そのため今になって苦労して
いるのです。まぁ、話すと長くなりますので…。

回答No.6

yo5h1

hypnosisさんの解き方では
当たっているにしても外れているにしても、時間がかかってしまいます。
候補がもっと多くなったら大変なことになりますよ。

テキストの解法は
候補となる正方形の「一辺の長さ」を先に求め、
それからタイルの枚数を求める方法です。

「18cmを何個か並べた長さ」と「30cmを何個か並べた長さ」が
両方とも同じ時に、やっと正方形になりますよね？

正方形の辺は縦も横も「同じ長さ」ということがポイントです。
だから18と30の公倍数を求めています。

18と30の公倍数が90ですから
答えの候補となる正方形は「（縦）90×（横）90」、「180×180」、「270×270」・・・となり
そのうち条件に当てはまるのは「450×450」の正方形のみです。

あとは分かると思いますが・・・

正方形縦の辺450cmあたりのタイルの数・・・450(cm)÷18(cm)＝25(個)
正方形横の辺450cmあたりのタイルの数・・・450(cm)÷30(cm)＝15(個)
25(個)×15(個)＝375(個)

お礼

遅くなってすみません。
ありがとうございました。

回答No.5

rukuku

はじめまして

＞選択肢と一致したものが正解である
この解き方は、テストの問題を解くには正しいのかもしれません。
でも、「選択肢問題でない場合」、この方法では問題は解けません。

また、
＞お互いの候補同士をかけあわせて
もちろん、縦22～27枚、横13～16枚の24通りの組み合わせを全てチェックしてもこの問題は解くことができます。
ただし以下の点に注意してください。
　候補同士の組み合わせでは作れるけれど、正方形にはなっていない枚数が選択肢に含まれているかもしれません。
　その候補同士の組み合わせで、ちゃんと正方形になっていることも確認することが必要です。

テキストの回答では、最初に縦18、横30のタイルので作ることのできる「一番小さな正方形」を求めています。
それが縦横９０の正方形です。これには縦５枚横３枚の１５枚のタイルが使われます。
この正方形を■で表しますと、
次に大きな正方形は
■■
■■
となります。

その次に大きな正方形は
■■■
■■■
■■■
です。

このように、正方形を作るには「一番小さな正方形」を「縦横同じ数だけ」並べていきます。

そこで、hypnosisさんと同じように考えますと400/90=4.4、500/90=5.6なりますので、候補は「５」になります。
「一番小さな正方形」を縦５枚横５枚に並べますので、「一番小さな正方形」２５枚分になります。
「一番小さな正方形」は問題のタイル１５枚からできていますから
１５×２５＝３７５
が回答となります。

お礼

遅くなってすみません。
ありがとうございました。

回答No.4

kabaokaba

>皆さんも18と30を別々にして考えるべきだとは思いませんか。
>18と30の公倍数では縦と横に関係のない数字がでるだけだとは思
>いませんか。

まったく思いません．
「関係のない数字」とかいってる段階で問題が
分かってませんし，公倍数も分かってないのは明らかです．
最小公倍数を求めることで
そのタイルで作ることのできる最小の正方形と
それに必要なタイルの枚数を
求めているってことが理解できてません．

そもそも
＞お互いの候補同士をかけあわせて、選択肢と一
＞致したものが正解である→色々試していると…おや？25×15＝375
＞正解は（3）だ！となりました。この解き方はあっていますでしょ
選択肢がなかったらどうするの？
それに正方形って条件はどこにいったの？
まあ，この問題の２４通り程度ならどうということもありませんが
まるで無意味というか，学習内容をまったく理解していないと
公言するようなものです．

毎回指摘されている
「問題文を読めてない」
ということはどう思ってるのでしょう？

お礼

回答が遅くなってしまいすみません。
ありがとうございました。

＊毎回指摘されている
「問題文を読めてない」
ということはどう思ってるのでしょう？

状況によってもだいぶ変わりますのでなんとも…。
ただし、国語と英語は問題ありませんので、やはり算数が
苦手なのでしょう。

回答No.3

kirigirios

マークシート問題で解法がわからないときの手段としては否定しませんが、数学の解き方としては雑すぎます。

正方形になるのだから、縦と横は等しくなると考えましょう。
１８×A＝縦の長さ＝横の長さ＝３０×B　
A、Bが整数とすると、当てはまる縦＝横は１８と３０の公倍数である４５０だけです。

お礼

回答が遅くなってしまいすみません。
ありがとうございました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞まぐれで一致しただけでしょうか？

まー、そんな感じです。
ちょっと違う問題になると、その考え方では破綻しますので。

「枚数」の候補ではなく「長さ」の候補でとらえるのが正道です。

縦方向の枚数をｍ、横方向の枚数をｎと置き、
１８ｍ　＝　４００～５００　＝　縦の長さの候補
３０ｎ　＝　４００～５００　＝　横の長さの候補

ぴったり埋まるためには、４００～５００　は、１８ｍと３０ｎの公倍数でなくてはいけません。
１８ｍと３０ｎの最小公倍数は、９０ｍｎです。
４００～５００　の数のうち、９０ｍｎの公倍数になれるのは４５０のみ。

タイルの枚数はｍｎなので、
ｍｎ　＝　４５０／１８　×　４５０／３０
　＝　３７５

以上、ご参考になりましたら。

お礼

回答が遅くなってしまいすみません。
ありがとうございました。