等差数列の問題

質問

完璧にわかっていない問題があるのでご教授下さい。

１から９００までの自然数の家、２で割り切れず、３で割って２ａまり、更に５で割って４で余る数は何個あるか。また、それらの和を求めよ。

解答　３０個　、和は１３９２０
｛２９＋３０（ｎー１）｝

☆しらみつぶしで２９が条件に当てはまる数だとわかりました。しらみつぶしで求める以外に簡単な方法ってあるのでしょうか？

☆２９を２倍、３倍、・・・倍した数が条件に当てはまる数かと思いきやちがいました。２９に３０を足した数だとわかったんですが、どうして３０を足したのかわかっていません。

以上が分かっていない点です。この質問にお答えもお願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

２で割り切れず、３で割って２余り、更に５で割って４で余る自然数をAとおくと
A+1は2,3,5で割り切れます。
という事は、A+1は2*3*5=30で割り切れます。つまり、A+1は30の倍数です。
nを自然数とすると
A+1=30n
A=30n-1（=29+30(n-1)・・・こうする事に意味はない）
１≦30n-1≦900
であり、nが自然数である事を考えれば、
n=1,2,3,・・・・29,30
である事が分かります。
和は
Σ(1 to 30)(30n-1)=30*30*31/2-30=13920

＞どうして３０を足したのかわかっていません
簡単に言えば、2,3,5の公倍数です。
なぜ、2,3,5の公倍数かというと、
Bが２で割り切れないとします。
Bの次に大きい2で割り切れない自然数はB+2だというのは分かりますね。
その後は、B+4,B+6、B+8、・・・と続いていきます。
つまり、Bに2の倍数を足せば、その数は、2で割り切れません。

次に、Cが3で割ると2余る自然数だとします。
Cの次に大きいのはC+3。その後はC+6、C+9、C+12、・・・と続きます。
Cに3の倍数を足せば、その数は、3で割ると2あまります。

Dが5で割ると4余る自然数であれば、
Dの次はD+5。その後は、D+10，D+15,・・・と続きます。
Dに５の倍数を足せば、その数は5で割ると、4あまります。

Aが2で割り切れず、3で割ると2余り、5で割ると4余るので
Aに2の倍数かつ、3の倍数かつ、5の倍数である数つまり、30の倍数を足せば、
そのかずも2で割り切れず、3で割ると2余り、5で割ると4余ります。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。とても説得力がありました。

回答No.1

TK0318

＞２で割り切れず、３で割って２余り、更に５で割って４で余る数

言い換えるとある数Ａに１を足すと２，３，５で割り切れます。その数（Ａ＋１）は最小公倍数から３０。よって最小のある数Ａは２９と分かります。

最小公倍数が３０なのですから６０，９０・・・も植えの条件に成り立ちます。１を引けばいいのですから５９，８９・・・となっていきます。
よって３０n－１が答えになります。

３０ｎ－１＜９００
より最小のｎは３０になり、和は
Σ（３０ｎ－１）（ｎ＝３０）＝３０・３０・３１／２－３０＝１３９２０

＊｛２９＋３０（ｎー１）｝ ＝３０ｎ－１

お礼

すばやい回答ありがとうございました。単純明快でわかりやすかったです。