数学の問題で困ってます。媒介変数表示にくわしい人お願いします！

質問

放物線y^2＝4px(p＞０)上の点Ｐ(原点は除く)における接線とこの放物線の軸とのなす角をθとするとき、この放物線を媒介変数θで表せ。という問題がわかりません。
接線と軸の交点をＳとおいてみて半直線Ｓｘを始線としたり、Ｐ（ｒ、θ）としたりＳＰ＝ｒで・・・ということは考えてみました。この考え方があっているかどうかもわかりませんが・・・。
誰かお願いします＞＜

回答No.2

mister_moonlight

放物線y^2＝4pxで、原点を通る直線を2x＝tyと置き、これら2つの方程式からxを消去すると、放物線と直線との原点以外の交点Ｐは(x、y)＝(pt＾2、2pt)である。‥‥(1)
点Ｐにおける接線は、放物線の接線の公式からty＝x+pt＾2。
従って、t≠0として、tanθ＝1/t‥‥(2)
後は、(1)と(2)からtを消去すれば、xとyはθで表せる。

お礼

こういうやり方もあるんですね。
回答ありがとうございます。

回答No.1

proto

まずこの場合放物線の軸はy=0つまりx軸ですね。
そしてx軸と接線のなす角がθということは、接線の傾き(y=ax+bのaにあたるもの)がtan(θ)と表されますね。
放物線の式はy^2=4pxと与えられているので、ここから点Pにおける接線の傾きを求めてtan(θ)と置けば道が開きそうですね。

y^2=4pxの両辺を微分すると
　　2y*(dy/dx) = 4p
よって
　　(dy/dx) = 2p/y = tan(θ)
この式をy=～の形に直せば、とりあえずy座標を媒介変数θで表すことには成功です。
さらにy^2=4pxからxとyの関係は分かっているので、この式にyの媒介変数表示を代入し整理すればx座標の媒介変数表示も得ることが出来るでしょう。
それらをまとめて(x,y)のように組の形で書けば、放物線を媒介変数表示したことになります。

お礼

回答ありがとうございます。
こうやってやればいいんですね。
コツがつかめた気がします。