直線の媒介変数表示

質問

直線を媒介変数表示するときのtの表すものがわからないので質問します。
点A(x_1,y_1)を通り傾きb/aの直線の媒介変数表示が、x=x_1+at,y=y_1+bt・・・(1)
点A(x_1,y_1)を通り方向角αの直線の媒介変数表示が、x=x_1+tcosα,y=y_1+tsinα・・・(2)
と書かれている下に、tはAと直線上の点P(x,y)との距離(向きを考える)を表す変数と書かれているのですが、この一文が(1)にも(2)にも当てはまるか、(2)だけに当てはまるかがわかりません、(2)ではAPの距離が
√{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}=√{(tcosα)^2+(tsinα)^2}=√t^2=|t|となるので、一文に当てはまると考えました。
(1)では、√{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}=√{(at)^2+(bt)^2}=√(a^2+b^2)|t|ですが、傾きb/a=kを、a^2+b^2=1を満たすように約分することもできるので、疑問がわいてしまいました。b/a=kとa^2+b^2=1を連立させると、
(k^2+1)a^2-1=0よりa=±√(k^2+1)/(k^2+1),b=k*{±√(k^2+1)/(k^2+1)}これは、b/a=kとa^2+b^2={(k^2+1)+k^2*(k^2+1)}/(k^2+1)^2=1をみたすので、√(a^2+b^2)|t|も|t|になったりするのかなと思いました。
どなたかb/aを約分して(傾きの値kは変えない)いいのかと、(1)においても、tはAと直線上の点P(x,y)との距離(向きを考える)を表す変数と言えるのかを教えてくださいお願いします。

回答No.1

f272

点A(x_1,y_1)を通り傾きb/aの直線の媒介変数表示が、x=x_1+at,y=y_1+bt・・・(1)
と書いてあるけど，例えば傾き3/4はa=4，b=3ということではない。傾きb/aだけではa，bを一意に決められないのに(1)のようなことを言っているということ。直線の式としては(1)で問題ない。
a^2+b^2=1を満たすようにすれば，tがちょうど距離に等しくなるのですが，a^2+b^2=1を満たすようにしなれば，tは距離に比例する変数と言うのが厳密な言い方だろう。でも，それでもtは距離を表す変数と言うのも大きな意味では間違いではない。

お礼

細かく調べると、直線を表すとき、通る点と方向角か、直線の傾きには差があるんですね。お返事ありがとうございます。