極限値について

質問

lim(x→0)f(x)^2=0　ならば　lim(x→0)f(x)=0
これって成り立ちますか？？

回答No.1

proto · ベストアンサー

成り立ちます。

lim(x→0)f(x)が収束する場合と収束しない場合に場合分け

lim(x→0)f(x)が収束すると仮定してその極限値をαと置くと、
　　lim(x→0)f(x)^2 = lim(x→0){f(x)*f(x)}
　　　　　　　　　　= {lim(x→0)f(x)}*{lim(x→0)f(x)}
　　　　　　　　　　= α*α = 0
よって
　　α=0 または α=0
どちらにしても
　　α = lim(x→0)f(x) = 0

lim(x→0)f(x)が収束しないと仮定しすると、lim(x→0)f(x)^2もまた収束しないので不適。

以上より、lim(x→0)f(x)^2=0のときlim(x→0)f(x)もまた収束し、その極限値は0。

お礼

なるほど、わかりやすく早い回答ありがとうございます。