放物線とそれに接する２つの接線に囲まれた面積

質問

放物線とそれに接する２つの接線に囲まれた面積は
２つの接点を結んだ直線と放物線で囲まれた面積の
ちょうど１／２になりますよね？

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

放物線をy=ax^2 (a>0)
よってy'=2ax
接点をα、βとおく。(α<β)
接線の方程式は
y=2aαx-aα^2・・・(1)
y=2aβx-aβ^2・・・(2)
(1),(2)を連立してyを消去し、xについて整理すると、
x=(α+β)/2

放物線とそれに接する２つの接線に囲まれた面積をSとおくと
S=∫(α～(α+β)/2){ax^2-(2aαx-aα^2)}dx+∫((α+β)/2～β){ax^2-(2aβx-aβ^2)}dx

=[(a/3)x^3-aαx^2+aα^2x](α～(α+β)/2)+[(a/3)x^3-aβx^2+aβ^2x]((α+β)/2～β)

={a(α+β)^3/24-aα(α+β)^2/4+aα^2(α+β)/2-aα^3/3+aα^3-aα^3}
+{aβ^3/3-aβ^3+aβ^3-a(α+β)^3/24+aβ(α+β)^2/4-aβ^2(α+β)/2}

=-a(β-α)(α+β)^2/4+a(β-α)(α^2+αβ+β^2)/3

=a(β-α)^3/12

∴S=a(β-α)^3/12・・・(3)

２つの接点を結んだ直線と放物線で囲まれた面積をTとおくと
点(α,aα^2)と点(β,aβ^2)を結ぶ直線の方程式は
y=a(α+β)x-aαβ
よって
T=∫(α～β){a(α+β)x-aαβ-ax^2}dx

=[a(α+β)x^2/2-aαβx-ax^3/3](α～β)

={a(α+β)(β^2-α^2)/2-aαβ(β-α)-a(α^3-β^3)/3

=a(β-α){3(α+β)^2-6αβ+2(α^2+αβ+β^2)}/6

=a(β-α)^3/6

∴T=a(β-α)^3/6・・・(4)

(3)、(4)より、S=T/2

疲れた～。
強引にやりましたが、もっと簡単な方法もあるかもしれませんね。

なお、放物線をy=ax^2とおきましたが、放物線はすべて相似である事を考えれば、#3さんが書いている通り、y=x^2とおいてもOKですね。

お礼

朝、下のレスをつけてから学校に行ったのですが昼休みにやってみたら
以外にも出来てしまいました（苦笑　方法もほぼ同じです。

めちゃめちゃ計算が大変だったのでキーボードでは相当大変だったと
おもいます。ありがとうございました。

回答No.5

springside

No.4さんが完全解を出していらっしゃるので蛇足かもしれませんが、受験数学的なうまい計算方法があります。
要は、定積分計算の時に「＝０」になる項を人工的に作っておくことで楽をしようという発想です。

１．Sについて
∫(α～(α+β)/2){ax^2-(2aαx-aα^2)}dx
＝a∫(α～(α+β)/2){(x-α)^2}dx
＝a/3[(x-α)^3](α～(α+β)/2)
（↑x=αの時に０になるので定積分計算が楽）

２．Tについて
∫(α～β){a(α+β)x-aαβ-ax^2}dx
＝-a∫(α～β){(x-α)(x-β)}dx
＝-a∫(α～β){(x-α){(x-α)-(β-α)}}dx （※：x-β=(x-α)-(β-α)というふうに分割した）
＝-a∫(α～β){(x-α)^2-(β-α)(x-α)}dx
＝-a[(x-α)^3/3-(β-α)(x-α)^2/2](α～β)
（↑x=αの時に０になるので定積分計算が楽）

回答No.3

hogehogeninja

なりますね。
一般にy=x^2,接線の一つは(0,0)の時を考えれば十分ですからすぐ計算できますね。

接点のもう一つが（t,t^2)なら、接線同士の交点は(t/2,0)、上側の面積はt^3/6、下側の放物線と二つの接線で出来る面積はt^3/12

補足

証明をやってみたのですが上手くいかないのでどなたか証明できませんか？

回答No.2

oshiete_goo

＃１さんのアドバイス通りやってみて確かめられたら，
一般に，
ｙ＝aｘ^2（a≠０）上の２接点　A(α,aα^2)，B(β,aβ^2)
をとって証明してみればよいでしょう．
平行移動を考えれば，一般性はこれで十分ですね．

回答No.1

noname#24477

それはどうかな。

具体的に、ｙ＝ｘ＾２，接点（－１，１），（１，１）
ぐらいでやってみたらどうですか。下の方が大きく見えますが。