2つの放物線と共通接線により囲まれている図形の面積

質問

２つの放物線C1：ｙ＝x^2－(a+1)x＋a　とC2：ｙ＝x^2－(a－1)x－a　がある。ただし-1<a<1。
(1)C1とC2の両方に接する直線ｌの方程式を求めよ。
(2)C1とC2およびｌによって囲まれた図形の面積を求めよ

(1)はC1上の点（ｔ、t^2－(a+1)t＋a）における接線をあらわして、それがC2に接しているから、それとC2を＝でつないで、判別式＝０をりようしたところ、
ｌ：ｙ＝ａｘ-a^2-1/4となりました。
計算が不安です。
解答のプロセスとしてはこれでいいのでしょうか？
ほかにもやり方があれば教えていただきたいです。

(2)がよくわからないのですが、C1とC2の交点のx座標、C1とｌの交点のx座標、C2とｌの交点のx座標を出さなければならないのでしょうか？

面倒だとは思いますが、回答いただけると幸いです。
宜しくお願いいたします

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

(1)は他の方々が答えておられるので、(2)についてアドバイスをしておきます。

＞C1とC2の交点のx座標、C1とｌの交点のx座標、C2とｌの交点のx座標を出さなければならないのでしょうか？
その方針でいいと思います。ただ、(1)で判別式=0となる様にしましたからC1-l,C2-lの式は因数分解できそうですね。
実際、x^2－(a+1)x＋a-(ax-a^2-1/4),x^2－(a－1)x－a-(ax-a^2-1/4)を因数分解すると
(x-A)^2という形に因数分解できます。だから、x座標は簡単な形にまとまります。
積分もこのまま
∫(x-A)^2dx=1/3(x-A)^3+C
で計算すると後の計算も難しくないと思います。トライしてみて下さい。

回答No.2

pomta7k8d

(１)の他のやり方ですが参考程度に

C1：ｙ＝x^2－(a+1)x＋a
このC1の点(ｔ、t^2-(a+1)t＋a)における接線は
y'=2x-(a+1)なので
y1=(2t-a-1)(x-t)+t^2-(a+1)t+a
=(2t-a-1)x-t^2+aとなる。同様にして
C2：ｙ＝x^2－(a－1)x－a　
このC2の点(s、s^2-(a-1)s-a)における接線は
y2=(2s-a+1)x-s^2-aとなる

ここy1とy2が同じ直線であるとするならば、
(1)y1の傾き＝y2の傾きと(2)y1の切片＝y2の切片で連立方程式をたてて解き
t=a+1/2 ,s=a-1/2
と出るので、y1,y2どっちでもいいのでｓまたはｔを代入して
y=ax-a^2-1/4を得る
このやり方だと検算できるんですよ。s.tのどちらか余っている方を計算すると。

(２)は三点を出してa点で二つにわけてゴリゴリ積分計算するしかないのでは・・・。

回答No.1

dyna43

自信はないですが、
（１）の答え、あってそうです。
あえて、別解を書くなら、接線の方程式をy=px+qと置き、この直線とC1に関し、判別式D=0、同様にC2についてD=0として、連立方程式を解く方法。

（２）は積分が必要そうなので、各ｘ座標を求める必要がありそうです。
面倒なので求めてません、ごめんなさい。

どこで、aの範囲が効いてくるのかが疑問のままですが...

補足

回答ありがとうございます。

＞どこで、aの範囲が効いてくるのかが疑問のままですが...

私もよくわかりません。なぜaの範囲が必要なのでしょうか？？