半角の公式

質問

半角の公式の証明

tan(a/2) = sqrt{(1-cos a)/(1+cos a) = {sqrt(1+tan a) - 1}/(tan a)
の証明ってどうやるのでしょうか？
教えてください。

回答No.2

htms42

ａ＝６０°とします。
ｔａｎａ＝√３
ｃｏｓａ＝１／２
ｔａｎ(ａ／２)＝１／√３

これで計算すると２つ目の等号が成り立ちません。

１つ目の等号は
sin(ａ／２)＝√((１－cosａ)／２）
cos(ａ／２)＝√((１＋cosａ)／２）
から出てきます。

tan(ａ／２)＝√((１－cosａ)／(１＋cosａ))
のルートを外すと
tan(ａ／２)＝(１－cosａ)／sinａ
になります。

回答No.1

noname#101087

>半角の公式
tan(a/2) = SQRT{(1-cos a)/(1+cos a)} = {SQRT(1+tan a) - 1}/(tan a) ..... の証明

スタート・ポイントが難しいところですけど、とりあえず cos の倍角公式から前半を…。
　cos(2b) = cos^2(b) - sin^2(b) = 2*cos^2(b) - 1 = 1 - 2*sin^2(b)
　　↓
　2*sin^2(b) = 1 - cos(2b)
　2*cos^2(b) = 1 + cos(2b)
　　↓
　tan^2(b) = {1 - cos(2b)}/{1 + cos(2b)}

後半は、tan の倍角公式から…。