難易度の高い整数問題

質問

かなり難易度が高いですが解説（証明）をお願いします。

連続する２つ以上の自然数の和により６通りのみで表される自然数のうち最小のものを求めよ。

例：９＝４＋５
　　　＝２＋３＋４
　　　（２通りのみであらわされる）

１５＝７＋８
　　＝４＋５＋６
　　＝１＋２＋３＋４
（３通りのみで表される）

よくある間違い：
×　３１５
（表し方が７通り以上あるため、６通り　のみ　ではない。）

回答No.7

htms42

＃５です。

＃６様
解説ありがとうございます。
やっと分かりました。

回答No.6

Quattro99

#1です。
参考URLで説明されているのは、ある自然数を2^n×奇数に分解したとき、その奇数（mとします）に約数がいくつあるのかによって元の自然数が連続する自然数の和として何通りで表すことが出来るのか（連続する2つ以上の和ではなく、1つの自然数の和つまりその自然数そのものの場合も含んで考えた場合で、今回の問題の場合は7通りにしたいということです）がわかるということです。
約数の数は、その数を素因数分解したとき、例えば3^2*5^3となったら、(2+1)*(3+1)=12のように求められます。素因数分解したときの指数が、a、b、c...であった場合、(a+1)(b+1)(c+1)・・・となります。
今回の問題では7通りにしたいのですが、7が素数であるため、(a+1)(b+1)(c+1)・・・は7*1*1*・・・しかありえず、つまり、素因数は1種類しかないということになり、約数が7個になるのは奇数mがある素数（偶数である2を除く）の6乗以外にはあり得ないことになります。従って、そのうち最小であるのは3^6です。

8通りの場合、この考え方では9通りの約数を持つ奇数を考えればよいことになり、それは素因数分解したときにx^8かx^2y^2の形である奇数ということです。x^8の形で最小なのは3^8でx^2y^2の形で最小なのは3^2*5^2ですから、最小は3^2*5^2です。

回答No.5

htms42

＃４です。
８通りは　２２５＝３×３×５×５　が最小のようです。

６通りは３×３×３×３×３×３＝７２９以外にはまだ見つかっていません。６通りだけが当てはまる数が少ないのです。不思議です。５通り、７通りは多いです。

もし試験で問われるたとすると到底時間が足りません。最小を示すことが出来ないのです。可能性を調べていくということでやるより仕方がないように思いますので。

回答No.4

htms42

＃２、＃３です。

６通りというのが難しいですね。
＃１の参考ＵＲＬに
３^6＝７２９
というのが載っています。

確かに３^n　だとｎ通りになります。

Ｎ＝３　　　　1通り
Ｎ＝９　　　　２通り、
Ｎ＝２７　　　３通り
Ｎ＝８１　　　４通り
Ｎ＝２４３　　５通り
Ｎ＝７２９　　６通り
Ｎ＝２１８７　７通り

でも最小であるとは限りません。

Ｎ＝１５＝３×５　　３通り
Ｎ＝４５＝３×３×５　　５通り
Ｎ＝１０５＝３×５×７　７通り
です。
２，４，６通りでは３^n　の形のものが最小かもしれません。でもまだ確めることが出来ていません。
ｎが偶数、奇数で最小の数の規則が異なるというのはどういう理由でしょうか。

回答No.3

htms42

＃２です。

すみません。間違いました。
１３５は７通りあります。

回答No.2

htms42

１３５が最小の数ではないでしょうか。
１３５＝３×３×３×５

（１）６７＋６８
（２）４４＋４５＋４６
（３）２５＋２６＋２７＋２８＋２９
（４）１１+１２+１３+１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１９
（５）９＋１０＋１１＋１２+１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８
（６）２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０+１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６

＃１の参考ＵＲＬを参考にしました。
考察が役に立ちました。
でも７２９は大きすぎます。

回答No.1

Quattro99

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225142214/647