自然数の問題

質問

連続する自然数５つあります。
１つめから３つめの平方の和は４つめと５つめの平方の和に等しい。
５つの自然数をもとめよ。

この問題の解き方がわかりません。
式と解き方を知りたいです。

ちなみに答えは１０、１１、１２、１３、１４でした。

回答No.3

warasubo · ベストアンサー

連続する５つの自然数の一番小さいものをｘとおくと、連続する５つの自然数は（２乗を「^2」と表すとして）、
x, (x+1)^2, (x+2)^2, (x+3)^2, (x+4)^2
と書けます。
題意より、
x^2+(x+1)^2+(x+2)^2 = (x+3)^2 +(x+4)^2
が成り立ちます。この式を整理すると、
x^2-8x-20=0
という２次方程式になるので、この方程式を解いて得られる解の内、自然数であるものを採用します。２次方程式の解の公式を利用しても良いですが。答えが「自然数」であるとわかっているので容易に因数分解できることもわかります。そこで、上の式の左辺を因数分解すると、
(x-10)(x+2) = 0
となり、２次方程式の解としては、x=10,-2が得られます。この解の内、自然数は10の方だけですから、連続する５つの自然数の一番小さいものは10であるということになり、
答え：10,11,12,13,14
となります。

回答No.5

washitsu_6

一番小さい自然数をAとする。
すると、連続する自然数は、A,A+1,A+2,A+3,A+4となる。

Aの2乗+(A+1)の2乗+(A+2)の2乗＝(A+3)の2乗+(A+4)の2乗を計算する。

3Aの2乗+6A+5＝2Aの2乗+14A+25
Aの2乗-8A-20＝0
(A-10)(A+2)＝0
A＝10,-2

自然数なので、A＝10

よって求める自然数は、10,11,12,13,14となる。

回答No.4

zetafunction

小さい方から,
n-1, n, n+1, n+2, n+3
とします。

題意より
(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2 + (n+3)^2
という式が立ちます。

これを変形すると,
3n^2 + 2 = 2n^2 + 10n + 13
iff n^2 - 10n - 11 = 0
iff (n+1)(n-11)=0
n=-1, 11

n＞0 より, n=11

よって求める 5 つの自然数は,
10, 11, 12, 13, 14

回答No.2

neue_reich

まず、連続する自然数のうちどれかをｎとします。
（ここでは真中をｎとします）

すると、
・１つめから３つめの平方の和
　⇒（ｎ－２）＾２＋（ｎ－１）＾２＋ｎ＾２
　＝３ｎ＾２－６ｎ＋５
・４つめと５つめの平方の和
　⇒（ｎ＋１）＾２＋（ｎ＋２）＾２
　＝２ｎ＾２＋６ｎ＋５

これが等しいので、
　３ｎ＾２－６ｎ＋５＝２ｎ＾２＋６ｎ＋５
　ｎ＾２ー１２ｎ＝０
　ｎ（ｎ－１２）＝０
よって、ｎ＝０，１２
自然数という条件なので、ｎ＝１２
これより、答えは　１０，１１，１２，１３，１４となります。

回答No.1

uruseiyatsurada

どれかを未知数にするわけですが
簡単のため
真ん中の数を　ｎ　とすると
題意より
（n-2）^2+（n-1)^2+n^2=(n+1)^2+(n+2)^2
<=>
n^2-12n=0
<=>
n(n-12)=0

nは自然数より
　n=12
ゆえに　求める5つの連続する自然数は
｛10,11,12,13,14｝