ヒントを見つけるヒントになるヒント

質問

問題の解説とにらみっこしていると、「なんで○○が問題を解くヒントになるんだろう？何をヒントに、それがヒントだと気付けばいいんだろう？」と悩むことが圧倒的に多いです。

人に「この問題はこう解く」と言われると、「あー、そっか！」と納得できるのですが、そのヒントを自力で見つけ出すことができずに困っています。

＊問
ａ、ｂはそれぞれ１以上９以下の自然数で、かつ、ａはｂよりも小さいものとする。例えばａが１、ｂが２のとき、ａｂａは３けたの自然数である１２１を表すものとする。このとき、ａｂａとｂａｂの和が１２２１になるａとｂの組合せは何通りあるか。

＊初めてこの問題をみたときの僕の頭の中
「ａ、ｂは１～８である…ってところまではわかる。ａが８ではないこと、ｂが１ではないというだ。…あれ？でもそれ以外は可能性がありすぎて一つ一つ確かめることもできないぞ…」

＊この問題が解けた人の主張（うろ覚え）
ａ、ｂは１～９だから、１０進法の問題である。

＊それをヒントに改めて自分で解いたやり方
100ａ＋10ｂ＋ａ＋100ｂ＋10ａ＋ｂ＝１２２１
111ａ＋111ｂ＝１２２１
ａ＋ｂ＝１１　
ａの可能性は２～５、ｂの可能性は９～６となり、回答は４通り。

…で、ここで最大の疑問です。この問題が解けた人は問題文の「１以上９以下の自然数」というのをヒントに○進法の問題だと見抜いたようですが、ａ・ｂが１以上９以下の自然数というのは、むしろ当たり前のことでヒントとして着目するようなことではないと思うんです。
なのに、なぜこれをいまさら「10進法だ！」ととらえ＆ａｂａなどを10進法の式に変えて計算すれば答えがだせるというところまで話が飛ぶのですか。

この問題に限らず、問題を解くヒントは、何をヒントに見つければよいのですか。問題文を読んだだけで、判断できないと困惑してしまうことが多く、越えられない壁の一つです…。よろしくお願いします。

回答No.17

koko_u_

>このあとどうすればよいのですか？これだけではどうしようもないと思うのですが…。

そこからが本題のなので書かなかったのです。
hypnosis さんが考える余地を残しておかなければ、アドバイスとは言えないと考えます。

>a+b が 3 つ並んだ数字とありますが、１２２１は同じ数字が３つ並んでいるわけではないから、
>これはヒントのようでヒントになっていないのです。

ヒントとはそういうものです。
よく考えれば 1221 が同じ数字が 3 つ並んだものであることがわかります。

>「考えさえすれば解ける」という前提を基にしたアドバイスになっているのではありませんか。

そうです。それが言いたいのです。
あなたが試験で遭遇する問題は「解かれるための問題」です。
考えれば必ず解けてしまう、普通の世の中ではあり得ない稀有なる世界なのですよ。

>ゼロから考える方法よりも、テクニックが知りたいのです。

考えることを放棄して「テクニック」に走った結果が今のこの体たらくなわけです。
そろそろ考えてもいいのではないでしょうか。

お礼

koko_u_さんへ

＞考えることを放棄して「テクニック」に走った結果
koko_u_さんと僕は初対面ではありませんが、今までの僕の質問内容に、「初めてみるパターンなので何もやっていません。解き方を書き込んでください」というものがありましたか？「やってみたけどできなかった。××がわからないので教えてください」と質問していたはずです。

考えるだけで解けるなら、とっくの昔に解けるようになっているはずです。考えて解けるなら、ここで質問などしません。何度も言います。「考えても思いつかない」→だから解き方を知ることが必要なのです。

今回のタイプの問題は、No15さんの常套手段で解けばいいと、わかりました。これが僕には必要なのです。

現代文や英文読解は僕の中では得意科目です。なのになぜ算数になると突然解けなくなるのか？ここが重要です。算数が得意科目であるご自分の経験や考えは捨ててください。算数が苦手な人はなぜ苦手なのか…思いつかないというのはどういうことなのか…じっくり考えてください。僕の抱えている疑問点に対し、「よく考えれば…であることがわかります」という考えがなくなったら、またお話しましょう。お待ちしております。

回答No.16

koko_u_

>僕は今までさまざまな問題をここで質問してきました。なぜなら、勉強しているにも関わらず、
>解き方を「思いつく」ことができず、どんな式を使えばいいかわからなかったからです。
>手探りでやればいいと言いますが、手探りでやっても、解けないのです。

今日はヒマなので「手探り」の部分もちょっと書くか。

質問欄に
「ａ、ｂは１～８である…ってところまではわかる。ａが８ではないこと、ｂが１ではないというだ。
…あれ？でもそれ以外は可能性がありすぎて一つ一つ確かめることもできないぞ…」

と書いていますが、 hypnosis さんは結局一つ一つ「手探り」で確かめる作業をしていません。
これは以下のような作業です。

(a が 1 の時の aba + bab)
121 + 212 = 333
131 + 313 = 444
...

(a が 2 の時の aba + bab)
232 + 323 = 555
242 + 424 = 666
...

なるほど。aba + bab は a+b が 3 つ並んだ数字ではないか。あたりまえだ。

問題文ではそれが 1221 になるとあるぞ。これは一体？

(以下略)

お礼

ありがとうございます。

＞hypnosis さんは結局一つ一つ「手探り」で確かめる作業をしていません。

なぜなら、一つ一つ確かめるには数が多すぎて不可能だからです。時間制限がなければよいかもしれませんが、実際の試験でそんなことやっているヒマはないです。また、仮にこの方法を実施したとして、

＞aba + bab は a+b が 3 つ並んだ数字ではないか。
＞問題文ではそれが 1221 になるとあるぞ。これは一体？

このあとどうすればよいのですか？これだけではどうしようもないと思うのですが…。a+b が 3 つ並んだ数字とありますが、１２２１は同じ数字が３つ並んでいるわけではないから、これはヒントのようでヒントになっていないのです。

いつも書いていることですが、「思いつくことができない」、だからどうすればよいか知りたいのです。

思ったのですが、koko_u_さんは算数が得意だから、思いつくことができないということがどういうことか、ひょっとしてわからないのではありませんか。だから、いつも「手探りでやればいい」「パターンは関係ない」「考えろ」といった、「考えさえすれば解ける」という前提を基にしたアドバイスになっているのではありませんか。

算数が得意な人には効果的なアドバイスなのかもしれませんが、算数が苦手な人は、考えてもわからない・思いつかないのです。だから、ゼロから考える方法よりも、テクニックが知りたいのです。

回答No.15

banakona

＃６です。

＞とありますが、これでは「適当にやってみた→まぐれで当たった」だけで、時間制限のある試験で合格点をとるための方法として適切かどうかという点では疑問です…。

「何かヒントはないか」「ひらめかないか」と考え続けては、おそらく全く前進しないでしょう。それこそ時間の浪費です。

統計を取ったわけでも立証したわけでもないですが、「とりあえずできることをする」か否かで数学の成績の優劣が決まるとさえ私は思っています。

また、＃９さんへの回答で、
＞これが思いつくことができないんです。だから、こういった発想ができるにようになるためにはどうしたらいいのか（以下略）

と言っていますが、私の意見がお耳に届かなかったようですね。
＞abaは100a+10b+aでbabは100b+10a+b

これはヒラメキでも発想でもなく、基礎です（私は「常套手段」と書きました）。この手の問題が出てきたら当然しなければいけないことです。これができないのは単なる勉強不足です。

お礼

ありがとうございます。

＞それこそ時間の浪費です。

そーーなんです！！考えてはいますが、いっこうに正しい解き方がひらめかず、時間をムダしているだけなんです（T_T）。

＞ヒラメキでも発想でもなく、基礎です（私は「常套手段」と
＞この手の問題が出てきたら当然しなければいけない

しかし、これが一番大きな壁になっています。なぜなら、この問題が、このテの問題だ、と気付くことができないからです。言い方を変えられると、すぐにわからなくなってしまうんです。

回答No.14

koko_u_

とうとう問題文を読んでしまった。

>問題文の「１以上９以下の自然数」というのをヒントに○進法の問題だと見抜いたようですが

まったく意味不明の主張です。

aba + bab の和が 1221 なのだから、a が二桁だと aba は五桁以上の自然数となり、
和が 1221 になることはありません。

つまり「ａ、ｂはそれぞれ１以上９以下の自然数で」という問題文の記述は、
単に問題を簡単にするだけの意味しかありません。

同じく「ａはｂよりも小さいものとする」との記述も aba + bab が a, b について対称
であることから、組(a, b) について和が 1221 なら (b, a) の組でも和は 1221 です。

また 1221 は奇数であるため a と b が等しくなることもありません。

>なぜこれをいまさら「10進法だ！」ととらえ＆ａｂａなどを10進法の式に変えて計算すれば
>答えがだせるというところまで話が飛ぶのですか。

問題文に「例えばａが１、ｂが２のとき、ａｂａは３けたの自然数である１２１を表すものとする」
とあるので、これを素直に数式にしているだけですね。
我々が普段 16 進数で生活していれば、これは 16 進数の問題です。

回答No.13

fef

どんな問題でもというわけではないですが，
多くの問題にはキーワードが含まれています．

例えば，今回の問題やANo.7へのお礼であげられた問題では，
数字の各桁に関する条件がポイントで，
このような問題では10進法の考え方を使うのが定石です．

このほかにも，条件式がどんな形をしているか，求めたいものは何か，など，
問題文中に鍵となる部分のあることが多いのです．

そこで，そのようなキーワードを整理して，
それぞれが含まれていたときにどのような解法を取ることが多いかを
まとめてみてはいかがでしょう．
多少，状況は改善されると思いますよ．

なお，キーワードを整理する際は，
ある程度抽象的で一般化された表現を用いるように気をつけましょう．
具体的・特別すぎると適用できる範囲が非常に狭くなってしまいます．

大学受験用ですが，
　　チャート研究所『入試頻出これだけ70』（数研出版）
などが参考になるでしょう．

初めに述べたように，このような「キーワード拾い」では
どうしても太刀打ちできない問題も確かにあります．
しかし，現状を聞く感じでは，そのような問題は後回しにして，
まず，この「キーワード拾い」で何とかなる問題を攻略していくべきだと思います．

そうして学習が軌道に乗ってきたところで，
ANo.7の方の学習法にシフトして，残りの問題の対策をするとよいでしょう．

お礼

ありがとうございます。

似たパターンの問題は、初めて解くときでもなんとか解くことができます。よって、全く勉強の成果がでていないわけではないようです。しかし、問題の数は莫大であり、挑戦したことのないパターンの問題が多く、そこで苦戦しています。また、今回の質問問題と例にだした問題のように、似たパターンがあったとしても、言い方を変えられてしまうとすぐわからなくなってしまいます…。

回答No.12

sugakusya

＞100a＋10b＋ａと同じ考え方が必要とされる問題です。しかし、この問題の解き方を知っていても、今回質問した問題解答には、活かせませんでした。
＞なぜなら、設問の仕方が全く違うため、同じだということに気付かなかったのです。

　あなたが、今思っているパターンという枠までしかさかのぼって考えないから悪いのでは？
　「100a＋10b＋ａと同じ考え方」をa,bなどを使わず、日本語だけで言い表せますか？言葉で言い表すぐらいにまで奥にまで戻ってみては？多分いまはそこまで戻っていないですよね？
　おそらく数学ができる人、ヒントがわかる人は、言葉で言い表せる人とほとんど同じだと思います(即答はできなくともゆっくり考えれば和答えられるでしょう)。

　あなたの今言っているパターンとは、パターンでは無く、「解答の途中で同じ部分が現れるものの集合」ではないですか？

　逆に質問ですが、その問題がわからないとは、どの程度の時間をかけての話でしょうか？精々２０分やそこらではないですか？

お礼

ありがとうございます。

同じパターンの問題であれば解けますが、見たことも聞いたこともないパターンの問題は、テの打ちようがありません。英語がペラペラだったとしても、サウジアラビア語を話すことはできないでしょう。

よって、言葉で言い表す以前に、どうしたらいいかわからない、のです。考えても問題がわからないときは、とっととあきらめて解説を見るようにしています。昔は１時間以上かけたこともありましたが、やってもわからないので、解説をみて解き方を勉強したほうが効率がよ
いからです。

回答No.11

jmh

> おぉ！！本当ですね（@_@;）
> 人に言われると納得できるのですが、
> それを自力で気付くことができません…。
> どうすれば、気付くことができるのですか？
>
いいえ、違います。
補足要求です。あなたは、何通りくらい計算してみたのでしょうか？

お礼

ありがとうございます。

何通りも何も、どうしたらいいかわからずギブアップしました。ａ、ｂに考えられる数字の組合せは莫大であり、確かめようがないからです。だから、確かめ方である正しい解き方に気付けるようになりたいのです。

回答No.10

koko_u_

>いいえ、そんなことはありません。
>手探りの状態で解こうとしても解けないというのが現実です。

毎回書いていますが、問題を解く時は普通「手探り」で考えるものなのです。

様々な定石や公式が存在しますが、それらも長い間に「手探り」で得られたものです。
習得するには、あなたもその「手探り」の部分を実感しなければいけません。

>あてずっぽうなやり方では、まぐれで正解はできても、解くということにはなりません。

問題に対して解き方が一通りに決まっている、との発想があるように思います。
そのようなありもしない「唯一の解き方」を求めてはいけません。

あなたがもしも、手探りで、あてずっぽうで問題を解いた時、それが参考書に掲載されている
模範解答と似ても似つかぬものだとしても、その手探りの解法こそが求める解法です。

お礼

ありがとうございます。

まずその前に。Ｎｏ１４の書き込み内容についてですが、僕が参考とした人の考え方は間違っていた、そこまではＯＫです。とらわれるのはやめます。

僕は今までさまざまな問題をここで質問してきました。なぜなら、勉強しているにも関わらず、解き方を「思いつく」ことができず、どんな式を使えばいいかわからなかったからです。手探りでやればいいと言いますが、手探りでやっても、解けないのです。

また、自分なりに考えてやってみたら、なんとか選択肢と一致する数字がでたため、それが答えかと思ったら不正解だったということも山ほどありました（今まで散々ここに書き込みましたので、具体例はだしません）。手探りでやればいいと言いますが、手探りでやっても、間違ってしまうのです。

だから、正しい解き方ができるよう、正しい解き方を見極めることができるためのヒントが必要だと考えます。でなければ、同じことの繰り返しです。

回答No.9

tsuyoshi2004

少なくとも数学の問題であることはわかっていると思います。だとすれば、図形もしくは式に問題文はできると考えるのが鉄則ですね。
決して、数学で「３つで５００円のリンゴと５個で１０００円のリンゴがあります。どちらが美味しいですか？」などという問題が出るとは思いません。（こういう問題を洒落で出せる先生はすごいと思います。）

解き方がわからなくてもとりあえず、abaは100a+10b+aでbabは100b+10a+bで、(100a+10b+a)+(100b+10a+b)=1221は書けると思います。
そうすれば、因数分解して、111(a+b)=1221でa+b=11までたどり着くと思います。
逆に言えば、「このとき、ａｂａとｂａｂの和が１２２１になる」はa+b=11を意味しているに過ぎないことがわかります。
従って、「a,b共に１桁の自然数でbがaより大きく、a+b=11になる組合せは何通りか？」という非常に簡単な問題に読み替える事ができます。

ヒントが云々よりもまずは、問題を図なり式に書き換える事が大事だと思います。

お礼

ありがとうございます。

abaは100a+10b+aでbabは100b+10a+bで、(100a+10b+a)+(100b+10a+b)=1221は書けると思います。

そう、これが思いつくことができないんです。だから、こういった発想ができるにようになるためにはどうしたらいいのか、思いつくためのヒントをどうやって見出したらよいのか、が知りたいのです。

回答No.8

SortaNerd

見つけることは不可能です。知っていなければいけません。そのために数をこなしましょう。

最初からヒントに気づける人はいません。誰かからその類の問題の解き方を教わるからヒントに気づくようになるのです。
最初にその問題を解いた人は誰にもヒントを教わらずに解いたわけですが、そんな人はごく一部の天才です。しかも、その天才が一生をかけて気づいたようなヒントだったりします。
それを凡人が無ヒントで学校の課題を解く程度の短時間で解けるわけがありません。

お礼

ありがとうございます。

＞知っていなければいけません。そのために数をこなしましょう。
＞その類の問題の解き方を教わるからヒントに気づくようになる

ありがとうございます。僕もはじめはそう思っていました。でも、問題の数は限りなく、数をこなしても、やったことのないパターンのほうが圧倒的に多いのです。また、ちょっとでも言い方を変えられると、同じ類の問題の経験があっても、「以前やった」と気付くことができなくなってしまうのです。